Descomposición de módulos indexables con idempotents

Question

Estoy un poco confundido con algo y me siento un poco estúpido.

Deje $\Lambda$ ser finito dimensionales de álgebra sobre un algebraicamente cerrado campo de $K$. Deje $M$ derecho $\Lambda$-módulo y deje $e$ ser un idempotente en $\Lambda$, diferente de$0$$1$. Entonces $$ M\cdot 1 = M \cdot (e+1-e) = Me+M(1-e)= Me\oplus M(1-e)$$ donde la suma es directa, ya que si tenemos $me=m'(1-e)$ algunos $m,m'\in M$ $me-m'e=m'$ por lo tanto $me=(me-m'e)(1-e)$ donde $me=me-me-m'e+m'e=0$$me=0$.

En particular, si $M$ es indecomposable, debemos tener $Me=0$ o $M(1-e)=0$. Ahora tome $\Lambda$ a ser el álgebra de triangular superior $3\times 3$ matrices. No hay una única $3$-dimensiones indecomposable $\Lambda$-módulo, es decir, $$M = \{ \begin{pmatrix} a & b & c\end{pmatrix} \mid a,b,c\in K\},$$ donde la multiplicación de los elementos de $\Lambda$ es definido por la usual de la multiplicación de la matriz. Tome $e=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$1-e =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. A continuación,$Me=\{(a,0,0) \mid a\in K\}$$M(1-e)=\{(0,b,c)\mid b,c\in K\}$. En particular, $Me\neq 0$ $M(1-e)\neq 0$ $M$ no es indecomposable.

He pasado bastante tiempo tratando de encontrar el simple error en el anterior razonamiento, pero no pude...

Answer 1

Si$xe=y(1-e)$, entonces$xe=xe^2=y(1-e)e=0$. Sin embargo, necesita que$Me$ y$M(1-e)$ sean submódulos, lo que generalmente no es cierto.

Es verdad si$e$ es un idempotente central, por lo que también$\Lambda$ es una suma directa$\Lambda e\oplus\Lambda(1-e)$ de álgebras; en este caso, es casi obvio que un módulo$\Lambda$ - no descomponible debe ser un módulo$\Lambda e$ - no descomponible o un módulo$\Lambda(1-e)$ - no descomponible.