Generalización de una desigualdad$0\lt e^6-{\pi}^4-{\pi}^5\lt 0.00002$

Question

Pregunta : ¿Es cierto lo siguiente?

Para cualquier$n\in\mathbb N$, existe un triple$(k,l,m)\ (k,l,m\in\mathbb N)$ tal que$$0\lt e^k-{\pi}^l-{\pi}^m\lt{10}^{-n}.$ $

Motivación : Un amigo mío me enseñó la siguiente desigualdad sorprendente:

ps

Por lo tanto, sabemos que la respuesta para la pregunta anterior es SÍ para$$0\lt e^6-{\pi}^4-{\pi}^5\lt 0.00002.$. No tengo una buena idea para$n=1,2,3,4$ en general. ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Me temo que la única manera de resolver este y otros problemas similares es por la ayuda de una computadora. He buscado soluciones para todas las desigualdades de la forma $|\pm e^a\pm\pi^b\pm\pi^c|\leqslant10^{-2}$, $a,b,c\leqslant100$ , y vino vacías, salvo por la solución que ya hemos presentado. Si usted está interesado en este tipo de temas, me gustaría recomendar la lectura de estos dos Wikipedia los artículos, así como el uso de este sitio.