Dada cualquier función derivable $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ y un intervalo abierto $(a,b)$ contenida en el rango de la derivada $g:=f'$$f$, no $g^{-1}((a,b))$ tiene que contener un no-vacío interior. Por supuesto, $g$ no es necesariamente continua. Pero tiene algunas propiedades: Por ejemplo, sabemos que el conjunto de puntos de continuidad de $g$ es de segunda categoría en $\mathbb{R}$ (con un argumento basado en la categoría de Baire teorema). Además, $g$ tiene el valor intermedio de la propiedad por el teorema de Darboux. es decir, la asignación de cualquier intervalo de tiempo en un intervalo. Por CIERTO, esto no es un ejercicio, o la declaración de cualquier libro. Así, yo no estaría sorprendido de que hay un contraejemplo.
Respuesta
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Brian Duff
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Un derivado de Pompeiu es una función que es la derivada de una por todas partes diferenciable función y que se desvanece en un conjunto denso. $g$ A ser un derivado de Pompeiu cero toma un valor distinto de cero $y$, la preimagen del intervalo abierto $(y-|y|,y+|y|)$ es no vacío pero no contiene ningún intervalo.
