Término de error de un teorema de Tauberian y puntos de celosía en círculos

Question

Supongamos $\{a_n\}$ es una secuencia de no-negativos de los números reales, $a_n = O(n^M)$ para un número positivo $M$ y es de la serie de Dirichlet $L(s)=\sum \frac{a_n}{n^s}$ tiene una continuación analítica de una función de meromorphic en $\mathbb C$ con sólo un simple poste en un número real positivo $a$ con residuo $A$. El uso de un estándar Tauberian teorema (si no me olvidó una condición necesaria), se puede concluir que: $$\sum_{n\leq x} a_n = Ax^a + O(x^{a-\delta}). $$

Mi pregunta es:

¿Cuál es el máximo valor de $\delta$ por los cuales asintótica fórmula funciona?

Mi motivación para esta pregunta fue un esfuerzo para encontrar la asintótica del número de celosía puntos en un círculo con un radio de $\sqrt{N}$ con centro en el origen, que está estrechamente relacionado con Dedekind zeta función de $\mathbb Q[i]$. Resulta que esta función zeta satisfaga todas las condiciones anteriores para$a=1$$A=\frac{\pi}{4}$. Entonces, ¿cuál es el mejor resultado que se puede obtener de esta manera?

Answer 1

respuesta a la segunda pregunta de Mostafa:(1). Uno puede hacerse una estimación $$\frac{\pi}{4}R+O(R^{1/2})$$ only by a short and elementary argument-people refer to it as the sphere packing technique of Gauss, you might have seen it is Calculus 1-essentially it is two dimensional Riemann integration where instead of approximating the integral with many arbitrarily small boxes you approximate it with a few squares of side $1$. Having therefore obtained the values $\delta=\frac{1}{2}$ so easily the question about Perron's formula is whether it can get a larger $\delta$. This is why I thought the first testing point would be at $\sigma=\frac{1}{2}$, as I mentioned earlier shifting the line of integration to the right and on $\Re(s)=\sigma$ will provide an error term which is at least as large as $O(x^{\sigma})$, the reason being the $x^s$ term in $$\int \zeta_{\mathbb{Q}(i)}(s) \frac{x^s}{s} ds.$$ (2): de Hecho, uno puede llegar a $O(R^{1/3})$ el uso de Voronoi suma-una suave exposición de esta prueba (entre muchos otros) es Iwaniec+Kowalski del libro (Lema 4.9). En realidad, consiguiendo $O(R^{1/3})$ es el punto central de este enfoque en comparación con el contorno de la integración. La mente, uno puede hacer el contorno de la integración y a este buen término de error, pero uno necesita una nueva idea, a saber el aproximado funcional de la ecuación (echar un vistazo a Titchmarsh de la función zeta libro). Pero debo decir que el exponente $1/3$ es bastante fácil de conseguir y uno debe tratar de leer Huxley papeles en lugar de (o, al menos, el anterior símbolo delta método de Iwaniec+Mozocci) que da exponentes mucho más cerca de Hardy conjetura $\frac{1}{4}$.

Answer 2

Hay muchos tipos de Tauberian teoremas. En su configuración particular de lo que la gente quiere decir con esto es que el uso de los Mellin transformar en una línea de integración con parte real $\sigma=\alpha+\frac{1}{\log x}$ y, a continuación, cambiar la línea de la integración a la izquierda de $\alpha$. Hay tres nuevos integrales:dos horizontales (que son el mismo, básicamente) y uno vertical. El ex general, proporcionar un pequeño error en el término y el último da el principal término de error, lo que significa que si la nueva línea de la integración está en la línea $\sigma=\alpha-\delta$ luego uno más o menos tiene un término de error de la forma $O(x^{\alpha-\delta+\epsilon})$ algunos $\epsilon>0$ dependiendo del comportamiento de la de la serie de Dirichlet en la región de $\sigma>\alpha-\delta$. No es un proceso automático Tauberian teorema que da el resultado obligado de este proceso en términos de la secuencia $a_n$ sin embargo, el proceso es muy estándar y es fácil de realizar, en particular, ejemplos. Lo que no he mencionado y es muy importante en este proceso es que usted necesita para tener una buena límites superiores para el crecimiento de la Dirichlet de la serie a la izquierda de $\sigma=\alpha$. Falta de límites en esta región es la razón por la que no se puede obtener muy buenos términos de error aunque el de Dirichlet de la serie puede ser analíticamente continuó incluso más a la izquierda. Una de las razones por las necesidades de estos límites es que al tener límites superior reduce el valor de $\epsilon>0$ en el término de error de arriba. Para la aplicación específica que tiene en mente la serie de Dirichlet $$\zeta_{\mathbb{Q}(i)}(s)=\zeta(s)L(s,\chi_4),$$ donde $\chi_4$ es no trivial de Dirichlet carácter modulo $4$ y por lo tanto, requiere de una buena límites superiores para $\zeta(s)$ cuando la parte real de la $s$ está cerca de a $\frac{1}{2}$. Esto está relacionado con Lindelöf la hipótesis de que es una versión débil de la hipótesis de Riemman, pero todavía lejos de ser demostrado. Existen otras técnicas que rápidamente el rendimiento de un mejor término de error que el que se obtendría por un Tauberian argumento, la más simple es Voronoi suma (que da $\alpha=1$ y permite a cualquier valor de $\delta>\frac{2}{3}$ en su notación). El mejor registro para el término de error en esta solicitud es debido a Huxley y los usos elementales de las técnicas basadas en el entramado de conteo de puntos, tal vez no es directamente trivial para ir a través de todos los detalles en su papel, aunque.