Encuentre el ángulo$\angle ACD=\theta$.

Question

Problema: Triángulo $\triangle ABC$ $AC=BC$ y $\angle ACB=96^{\text{o}}$. $D$ es un punto en $\triangle ABC$ tal que $\angle DAB=18^{\text{o}}$$\angle DBA=30^{\text{o}}$. Calcular $\angle ACD.$

Dibujo el problema en primer lugar:

De la ley del coseno tenemos que $b^2=2a^2-2a^2\cos{96}=2a^2(1-\cos{96})$, lo que conduce a $b=|a|\sqrt{2(1-\cos{96})}.$

Desde $\angle CAB=\angle ABC=(180-96)/2=42$, se deduce que el $\angle CAD=42-18=24$$\angle CBD = 42-30=12$. Esta información nos permite expresar $f$ en dos formas por la ley del coseno: \begin{array}{lcl} f^2 & = & e^2+a^2+2ea\cos{12} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \quad \ \quad (1)\\ f^2 & = & d^2+a^2+2da\cos{24} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \quad \ \quad (2)\\ \end{array} Restando (1)-(2)$e^2-d^2+2a(e\cos{12}-d\cos{24})=0$.

Aquí estoy atascado. Cualquier sugerencia sobre cómo proceder?

Answer 1

Usando Law of Sines en el triángulo$\triangle{ABC}$ podemos escribir: $$ \ frac {a} {\ sen 42} = \ frac {b} {\ sin96} \ Rightarrow b = \ frac {a \ sin 96} { \ sin42} $$ Del mismo modo en el triángulo$\triangle{ABD}$ tenemos: $$ \ frac {b} {\ sin 132} = \ frac {d} {\ sin30} \ Rightarrow b = 2d \ sin 132 = 2d \ cos42 $$ Equating$b$ nos da:$$a = \frac{2d\sin 42 \cos 42}{\sin 96}=\frac{d \sin84}{\cos6}=\frac{d\cos6}{\cos6} \Rightarrow a=d$ $ Entonces, el triángulo$\triangle{ACD}$ es un triángulo isósceles que arroja$\measuredangle{ACD}=78^{\circ}$

Answer 2

Permita que$CF$ sea una altitud de$\Delta ABC$ y$DB\cap CF=\{E\}$.

Por lo tanto,$\measuredangle ECA=\frac{1}{2}\cdot96^{\circ}=48^{\circ}$ y$\measuredangle EDA=18^{\circ}+30^{\circ}=48^{\circ}$.

Ahora, como$F$ es un punto medio de$AB$, obtenemos$AE=EB$, que dice que$\measuredangle EAB=30^{\circ}$

y desde aquí$\measuredangle EAD=30^{\circ}-18^{\circ}=12^{\circ}.$

Pero$\measuredangle CAB=90^{\circ}-48^{\circ}=42^{\circ},$ que da$\measuredangle CAE=42^{\circ}-30^{\circ}=12^{\circ}$.

Por lo tanto,$\Delta CAE\cong\Delta DAE,$ que da$CE=DE$ y desde$\measuredangle CED=90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}$,

obtenemos$\measuredangle ECD=30^{\circ}$ y$\measuredangle ACD=48^{\circ}+30^{\circ}=78^{\circ}$ y ¡ya terminamos!