Una pregunta muy básica (creo) sobre pruebas e infinitos primos.

Question

La siguiente prueba es de Introducción a las Matemáticas (Devlin). No estoy tratando de refutar Devlin o Euclides. Estoy tratando de comprender si las preguntas que mi mente pide son injustificadas y por qué.

Instrucción: Hay infinitos números primos.

(Prueba: Primera parte) "La verdad de esta afirmación se puede demostrar mediante un ingenioso argumento conocido de Euclides.1 La idea es mostrar que si hacemos una lista de los números primos en orden creciente como $p_1, p_2, p_3,..., p_n,...$, a continuación, la lista debe continuar para siempre. (Los primeros miembros de la secuencia son: $p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5, p_4 = 7, p_5 = 11$, y así sucesivamente.) Considere la lista de algunos etapa $n$: $p_1, p_2, p_3,..., p_n$ El objetivo es mostrar que hay otra prime que puede ser añadido a la lista. Siempre hacemos esto sin asignar n un valor específico, esto implica a la vez que la lista es infinita.

Deje $N$ ser el número que obtenemos al multiplicar todos los números primos que hemos enumerado hasta ahora y, a continuación, agregue $1$, es decir, $N = (p_1p_2\cdots p_n) + 1$ Obviamente, $N$ es mayor que todos los números primos en nuestra lista, así que si $N$ es primo, sabemos que hay un primo mayor que $p_n$, y por lo tanto, la lista puede continuar. (No estamos diciendo que el $N$ es que el próximo primer. De hecho, $N$ va a ser mucho más grande que $p_n$, por lo que es poco probable para ser el próximo primer.)"

Q1) ¿por Qué es la prueba de fiar? Esta prueba se emplea solo en $N=(1…5)+1$. Cómo, sin calcular una respuesta para CADA $p_X...p_N$, se puede asumir que la prueba continuará para ser verdad?

Q2) ¿qué tal si $N=(p1…p_\infty)+1$?

Q3) ¿Cómo puede ser dijo: "de ahí que la lista puede continuar"?

Answer 1

T1 es la clave. No es sólo acerca de los cinco primeros números primos. Es decir que usted supongamos que alguien afirma que tiene un número finito de lista que contiene todos los números primos. Quieres demostrar que están equivocados por que muestra que hay al menos un prime que no está en su lista. Tome todos los números primos en la lista, los multiplicaré, y agregar uno. Que es el $N$ aquí. Ninguno de los números primos en la lista se puede dividir $N$, porque todos tienen un resto $1$ al hacer la división. Por lo tanto, $N$ es el primer (y no está en la lista) o (y su resumen se pierdan de esta parte) es divisible por al menos uno de los prime, que no está en la lista. En cualquier caso no es un prime no está en la lista. Si su adversario, añade este sumo a la lista, puede repetir el cálculo, la búsqueda de $N'$ y otro primer no está en la lista. Esto demuestra que cualquier finito lista no puede contener todos los números primos.

Q2. pInfinity no tiene sentido, por lo que no podemos calcular esta $N$. La multiplicación se define únicamente con un número finito de factores. Podemos calcular límites de la finitud de los productos que tienen más y más términos, cuando el límite existe, pero infinito productos de los números de más de $1$ divergen.

Answer 2

El escrito de Devlin transmite la idea de una prueba (de la infinitud de los números primos) en una forma que refleja las limitaciones de lo que se encuentra en Euclid.

Es decir, Euclides fue escrito mucho antes de que un principio de prueba por inducción" había sido articulada. Así que desde una perspectiva moderna no es la crítica de la original como meramente un ejemplo y no un tratamiento riguroso "para todos los $N$".

Sin embargo, la idea de la prueba es tan claro en Euclid que hace un muy buen ejercicio para que los estudiantes de suministro que la falta de rigor.

Answer 3

Esta es una "prueba indirecta" o de la "prueba por contradicción". Si hay sólo un número finito de números primos, dicen, $p_1$, $p_2$, ..., $p_n$ entonces podríamos multiplicar todo junto y agregar 1: $p_1p_2...p_n+ 1$. Que no es divisible por ninguno de $p_1$, $p_2$,... $p_n$ desde dividiendo por cada una deja un resto de 1. Por lo tanto, o bien es primo o es divisible por algunos de los mejores no se incluyen en la lista. De cualquier manera, llegamos a una contradicción con la hipótesis de que $p_1$, $p_2$, ... $p_n$ son los únicos prime. Una verdadera declaración no puede conducir a una declaración de contradecirse a sí mismo por lo que la declaración original debe ser falsa.