Permitir que$G,H$ sea disjunto, abrir subconjuntos de$\mathbb{C}$ y$f_n:G\to H$ ser funciones analíticas. Si$f_n(z)\to f(z)$ para todos$z\in G$, prueba que$f$ es analítico y$f(G)\subset H$. Cualquier ayuda es apreciada.
Respuestas
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La afirmación de que $f(G) \subset H$ no es cierto en general, es fácil constituyen ejemplos donde $(f_n)$ converge a una constante en $\partial H$. Para los otros (true) parte de la reclamación, usted necesita demostrar que la convergencia no es sólo pointwise, pero localmente uniforme. El paso crucial aquí es mostrar que la familia $(f_n)$ es normal, y la herramienta para hacerlo es el teorema de Montel, utilizando todos los $(f_n)$ omitir todos los valores en $G$. Si usted necesita más detalles, que me haga saber.
Agrega detalles: Vamos a $z_0 \in G$ ser arbitraria. A continuación, $g_n(z) = \frac{1}{f_n(z)-z_0}$ es analítica para todos los $n$, y de la familia, $(g_n)$ es localmente acotado, debido a que cada una de las $f_n$ omite un disco fijo sobre $z_0$. Por lo $(g_n)$ es una familia normal, y, a continuación, $f_n(z) = z_0 + \frac1{g_n(z)}$ es normal.
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Vamos a la expansión de la serie de $f_n$ $$ f_{n}(x)=\lim_{N\to \infty}\sum_{k=1}^{N}a_k(n)x^k. $$ Un suficient condición es:
1) la convergencia $f_n\to f$ es uniforme,
2) existe$\lim_{t\to\infty}\lim_{N\to \infty}\sum_{k=1}^{N}a_k(n)x^k$$\lim_{N\to \infty}\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{N}a_k(n)x^k$.
Este resultado es una consecuencia de
Teorema. Deje $\{ F_t ; t\in T\}$ ser una familia de funciones de $F_t : X \rightarrow \mathbb{C}$ dependiendo de un parámetro t; deje $\mathcal{B}_X$ base $X$ $\mathcal{B}_{T}$ base $T$. Si la familia converge uniformemente en $X$ sobre la base de la $\mathcal{B}_{T}$ a una función $F : X \rightarrow \mathbb{C}$ y el límite de $\lim_{\mathcal{B}_{T}} F_t(x)=A_t$ existe para cada una de las $t\in T$, la repiten los límites de $\lim_{\mathcal{B}_{X}}(\lim_{\mathcal{B}_{T}}F_t(x))$ $\lim_{\mathcal{B}_{T}}(\lim_{\mathcal{B}_{X}}F_t(x))$ existen y la igualdad
$$ \lim_{\mathcal{B}_{X}}(\lim_{\mathcal{B}_{T}}F_t(x))=\lim_{\mathcal{B}_{T}}(\lim_{\mathcal{B}_{X}}F_t(x)) $$ sostiene.
La prueba se puede encontrar en los libros de Zorich ([Análisis Matemático II][1] p. 381).
