$$ \DeclareMathOperator{\dif}{d \!} \newcommand{\ramuno}{\mathrm{i}} \newcommand{\exponente}{\mathrm{e}} \newcommand{\cy}[1]{|{#1}\rangle} \newcommand{\bra}[1]{\langle{#1}|} \newcommand{\braket}[2]{\langle{#1}|{#2}\rangle} \newcommand{\soporte}[3]{\langle{#1}|{#2}|{#3}\rangle} \newcommand{\linop}[1]{\hat{#1}} \newcommand{\dpd}[2]{\frac{\partial #1}{\parcial #2}} \newcommand{\dod}[2]{\frac{\dif{#1}}{\dif{#2}}} $$
Utilizando la ecuación de Schrödinger y la definición de la expectativa de valor se puede demostrar que la dependencia del tiempo de la expectativa de valor de un observable $A$ para un sistema arbitrario del estado de $\ket{\Psi(t)}$ está dado por $$ \dod{\langle \rangle}{t} = \frac{\ramuno}{\manejadores} \langle [\linop{H}, \linop{Un}] \rangle + \big\langle \dpd{\linop{A}}{t} \big\rangle \, , \etiqueta{1} $$ esta ecuación muestra que, en general, si un operador $\linop{A}$ conmuta con el Hamiltoniano operador $\linop{H}$, y no de forma explícita dependencia del tiempo, entonces la expectativa de valor de la correspondiente observable $A$ es independiente del tiempo.
Para los estados estacionarios $\ket{\Psi(t)} = \exponent^{-\ramuno E_{k} t / \hbar} \ket{E_{k}}$ el primer término en la expresión para la dependencia del tiempo de la expectativa de valor de un observable se desvanece $$ \langle [\linop{H}, \linop{Un}] \rangle = \soporte{ \Psi(t) }{ \linop{H} \linop{A} }{ \Psi(t) } - \soporte{ \Psi(t) }{ \linop{Un} \linop{H} }{ \Psi(t) } = \soporte{ E_{k} }{ \linop{H} \linop{A} }{ E_{k} } - \soporte{ E_{k} }{ \linop{Un} \linop{H} }{ E_{k} } = E_{k} \soporte{ E_{k} }{ \linop{A} }{ E_{k} } - E_{k} \soporte{ E_{k} }{ \linop{A} }{ E_{k} } = 0 \, , $$ y así la dependencia del tiempo de la expectativa de valor está dada simplemente por $$ \dod{\langle \rangle}{t} = \big\langle \dpd{\linop{A}}{t} \big\rangle \, . \etiqueta{2} $$
Sin embargo, la instrucción como la siguiente
Un estado estacionario se llama estacionaria debido a que el sistema permanece en el mismo estado en que transcurra el tiempo, en cada observable. Wikipedia
se encuentra en muchos libros.
La cosa que me molestó es la palabra todos, ya que a partir de (2) parece ser que si un operador $\linop{A}$ lleva algo de tiempo explícito de la dependencia, entonces la expectativa de valor de la correspondiente observable $A$ cambios en el tiempo. Así que los estados estacionarios son, de hecho, no de manera estacionaria.
Tengo la sensación de que me falta algo. Y nuestra discusión con la Burbuja ayudaron a clarificar lo que me molesta.
Que yo sepa los operadores en la imagen de Schrödinger generalmente no llevan un tiempo explícito de la dependencia. De nuevo, generalmente, pero no siempre. En muchos de los libros (ver, por ejemplo, Griffiths, D. J., Introducción a la mecánica cuántica, 2ª ed.). uno puede encontrar que
Los operadores que dependen explícitamente en $t$ son bastante raras, por lo que casi siempre $\dpd{Q}{t} = 0$.
Y, sin embargo, el autor afirma que
La expectativa de valor es constante en el tiempo.
Me siento como que hay una brecha entre los operadores de estar casi siempre de forma explícita independiente del tiempo y cada expectativa y con un valor constante.
