¿Cómo se resuelve esta ecuación integro-diferencial?

Question

Me encontré con esta ecuación integro-diferencial para resolver $$\frac{du(x;t)}{dt}=-\lambda\int_0^xu(\xi;t)\;d\xi\tag{1}$$ bajo la condición inicial $u(x;0)=f(x)$ donde $x$ es un parámetro, $\lambda$ es una constante, y $0<t<\infty$ .

Mi primer pensamiento es que puedo integrar directamente la ecuación para obtener $$u(x;t)=-\lambda\int_0^t\int_0^xu(\xi;\tau)\;d\xi\,d\tau\;.\tag{2}$$ Esta ecuación es muy implícita y se desea una expresión explícita. Así que pensé en utilizar las transformadas de Laplace en su lugar. Sea $U(\cdot)$ sea la transformada de Laplace de $u(\cdot)$ y $s$ sea la covariable compleja de la variable real $t$ entonces $$s\,U(x;s)-f(x)=-\lambda\,\int_0^xU(\xi;s)\,d\xi\tag{3}$$ que puede convertirse en la ecuación diferencial $$s\,U'(x;s)+\lambda\,U(x;s)=f'(x)\tag{4}$$ donde la derivada es ahora con respecto a $x$ . Ecuación $(4)$ es fácilmente solucionable. Aunque no estoy seguro de haber hecho correctamente la siguiente transformación de Laplace, $$\mathscr{L}\left\{\int_0^xu(\xi;t)\,d\xi\right\}=\int_0^xU(\xi;s)\,d\xi\;.\tag{5}$$ Me imaginé que como la integración es sobre el parámetro en lugar de la variable transformante podría llevarla a la integral bajo la heurística de que la transformada de Laplace de una suma es la suma de las transformadas de Laplace, pero no estoy seguro de ello.

Alguna idea sobre esto o métodos alternativos para resolver la ecuación $(1)$ es bienvenido.

Answer 1

Intento incompleto de solución, pero pensé que lo ofrecería de todos modos como elemento de reflexión.

Diferencia ambos lados de la ecuación integral con respecto a $x$ .

$$ \frac{\partial ^2 u}{\partial x\partial t}=-\lambda u(x,t) $$

$$ u_{\alpha}(x,t)=A(\alpha)\cos(\alpha x+\frac{\lambda}{\alpha} t)+B(\alpha)\sin(\alpha x+\frac{\lambda}{\alpha}t),\;\;\;\alpha>0 $$

Ahora aprovecha la linealidad de la ecuación, normalmente sumamos pero aquí tenemos un parámetro continuo $\alpha$ .

$$ u(x,t)=\int_{0}^{\infty}u_{\alpha}(x,t)\mathbb{d}\alpha $$

$$ f(x)=u(x,0)=\int_{0}^{\infty}u_{\alpha}(x,0)\mathbb{d}\alpha $$

$$ f(x)=\int_{0}^{\infty}A(\alpha)\cos(\alpha x)\mathbb{d}\alpha+\int_{0}^{\infty}B(\alpha)\sin(\alpha x)\mathbb{d}\alpha $$

Ahora me gustaría resolver para $A(\alpha),B(\alpha)$ en términos de $f(x)$ . Tal vez si se convirtieran las expresiones trigonométricas anteriores a exponenciales complejas surgiría una cierta estructura de transformada de Laplace/Fourier que permitiría utilizar el formalismo establecido para invertir (resolver para $A,B$ en términos de $f$ ).

Answer 2

La solución que se detalla a continuación es :

Con $\quad F(s)=$ Transformada de Laplace de $f(x)$ .

$$\Phi(s,t)=e^{-\frac{\lambda \:t}{s}}F(s)$$ $$\boxed{u(x,t)= \text{ Inverse Laplace Transform of } \Phi(s,t)}$$

El resultado no puede expresarse más explícitamente hasta que la función $f(x)$ se indique explícitamente.