Funciones continuas en topología discreta de productos

Question

Deje $A = \{a_1,\dots,a_m\}$ ser un conjunto finito dotado de una topología discreta y deje $X = A^{\Bbb N}$ ser el producto topológico del espacio. Me pregunto que delimitadas las funciones de $f:X\to\Bbb R$ son continuas en a $X$.

Por ejemplo, es claro que si $f$ sólo depende de un número finito de coordenadas, a continuación,$f\in C(X)$, es decir, si existe alguna finito $n$ tal que $$ f(x_1,\dots,x_n,x_{n+1},x_{n+2},\dots) = f(x_1,\dots,x_n,x'_{n+1},x'_{n+2},\dots) \quad \forall x_{n+1},x_{n+2},x'_{n+1},x'_{n+2},\dots $$ a continuación,$f\in C(X)$. Por lo tanto parece que sólo dependientes en infinidad de coordenadas puede violar la continuidad. Yo sería feliz, si me podria decir si hay algunos útiles necesarios/condiciones suficientes para asegurar la $f\in C(X)$.

En particular, si $B\subset A$ $1_B(a)$ es el indicador (característica) de la función de $B$, es que $$ g(x):=\limsup\limits_{k\to\infty}1_B(x_k) $$ es una función continua en a $X$.

Answer 1

Sí, existen, y probablemente numerosos. La idea básica es la siguiente:

Teorema.

Deje $[a_1\dotsm a_n]:=a_1\dotsm a_n A^{\mathbb N}$ denota el conjunto se llama un cilindro. Entonces, básicamente, $f$ es continua si sólo si $$ \operatorname{diámetro} f\bigl([a_1\dotsm a_n]\bigr)\xrightarrow{n\to\infty}0 \quad\text{para todo}\quad a_1a_2a_3\dotsm\en A^{\mathbb N},$$ donde $\operatorname{diam}Y$ es el diámetro de un conjunto.

Esta propiedad es crucial para todos los sistemas de numeración. Por ejemplo, para la expansión decimal de que uno ha $f(a_1a_2a_3\dotsm)=\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{100}+\frac{a_3}{1000}+\dotsb$ y el diámetro de la imagen de cilindro de $[a_1\dotsm a_n]$ es exactamente $10^{-n}\to0$, por lo tanto $f$ es continua. Lo mismo es cierto para el sistema binario, así, en general, para todos los radix representaciones. Pero es cierto incluso para las fracciones continuas, cuando se escribió como un infinito seqence de matrices $L=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$, $R=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$, y para muchos otros sistemas.

Prueba.

En el set $A^{\mathbb N}$ el (a veces) el Cantor de la topología dada por un Cantor métrica: $\rho(\mathbf{a},\mathbf{b})=2^{-k}$ donde $k=\min\{j:a_j\neq b_j\}$ (letras en negrita indican infinito de palabras).

La continuidad de la $f$ significa $$ (\forall \mathbf x\in A^{\mathbb N})(\forall\varepsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall \mathbf y\in A^{\mathbb N}, \rho(\mathbf x,\mathbf y)<\delta)(\lvert f(\mathbf y)-f(\mathbf x)\rvert<\epsilon)$$

Dado que los conjuntos de tales $\mathbf y$ son exactamente algunos de los cilindros, esto se debe, obviamente, equivalente al teorema de la declaración.

Observación.

Observe que todos los cilindros están clopen conjuntos, que es muy interesante en sí mismo.

Answer 2

No sé si hay condiciones generales, pero puedo responder a su pregunta en particular: tenga en cuenta que la secuencia$(y^n)$ con$y^n = (x_1, x_1, \ldots, x_1, x_2, \ldots)$ con$n$$x_1$ converge a$y = (x_1, x_1, \ldots)$ en$A^{\mathbb N}$. Ahora dejamos$B = \{x_2\}$, tenemos para cualquier$n$:$$ g_B(y^n) = \limsup_{k\to\infty} 1_B(y^n_k) = 1 $ $ (como$y^n_k = x_2$ para$k> n$). Pero$$ g_B(y) = \limsup_{k\to\infty} 1_B(x_1) = 0 $ $ So$y^n \to y$, pero$g(y^n) \not\to g(y)$, por lo tanto,$g$ no es continuo.