Es bien sabido que la compacticidad implica pseudocompactness; Esto sigue de Teorema de Heine-Borel. Sé que la conversación no tiene, pero ¿qué es un contraejemplo?
(Un espacio pseudocompact es un espacio topológico $S = \langle X,{\mathfrak I}\rangle$ tal que cada función continua $f:S\to\Bbb R$ ha limitado la gama).
Yo no podía pensar en una evidente contraejemplo, así que busqué en Wikipedia y sugirió que el punto particular de la topología en un conjunto infinito.
$\def\p{{\bf x}}$En el punto particular de la topología, tenemos un distinguido punto, $\p\in X$, y la topología es que un conjunto es abierto si y sólo si está vacío, o incluye a $\p$.
Deje $S=\langle X,{\mathfrak I}\rangle$ ser un infinito determinado punto del espacio con distinguidos punto de $\p$. Está claro que $S$ no es compacto: la apertura de la tapa consta de $\{p, \p\}$ por cada $p\in X$ otros de $\p$ es un infinito abra la cubierta de $S$ sin el adecuado, y por lo tanto no finito subcover.
$\def\R{{\Bbb R}}$Sin embargo, el espacio es pseudocompact. Deje $f:S\to\R$ ser una función continua. A continuación, $f^{-1}[\Bbb R\setminus \{f(\bf x)\}]$ es un conjunto abierto no contiene $\bf x$, por lo que debe estar vacío, por lo tanto $f$ es constante.
$\pi$-Base, una base de la versión de Steen y Seebach del Contraejemplos en la Topología, nos da los siguientes ejemplos de pseudocompact espacios no compactos. Usted puede ver el resultado de la búsqueda para aprender más acerca de cualquiera de estos espacios.
$[0,\Omega) \times I^I$
Una Alteración De La Larga Línea
Contables Complemento De La Topología
Contables Punto En Particular De La Topología
Elimina Tychonoff Tablón
Divisor De Topología
De Doble Punta Contables Complemento De La Topología
Gustin del Espacio de secuencias de
Hewitt Condensada de Sacacorchos
Enclavamiento Intervalo De Topología
Irracional De La Pendiente De La Topología
Un Mínimo De Hausdorff Topología
Anidado Intervalo De Topología
Novak Espacio
Abierto Innumerables Ordinal Espacio De $[0, \Omega)$
El Primer Número Entero De Topología
Relativamente Primer Entero Topología
A la derecha el Fin de la Topología en $\mathbb{R}$
Roy Entramado Espacio
Fuerte Ultrafilter Topología
El Largo De La Línea De
Tychonoff Sacacorchos
Innumerables Punto En Particular De La Topología
Un ejemplo que no depende de los contables de la compacidad es Mrówka del espacio $\Psi$. Los subconjuntos de a $\omega$ son casi disjuntos si su intersección es finito. Deje $\mathscr{A}$ ser una máxima casi la desunión de la familia de subconjuntos de a $\omega$, y deje $\Psi=\omega\cup\mathscr{A}$. Puntos de $\omega$ son aislados. Abierto básicos nbhds de $A\in\mathscr{A}$ son conjuntos de la forma $\{A\}\cup(A\setminus F)$ donde $F$ es cualquier subconjunto finito de $A$. $\Psi$ no es ni siquiera countably compacta, ya que $\mathscr{A}$ es un infinito (de hecho incontables) cerrado, conjunto discreto en $\Psi$. (De hecho, no es difícil asegurar que $|\mathscr{A}|=2^\omega$.)
A ver que $\Psi$ es pseudocompact, supongamos que $f:\Psi\to\Bbb R$ es continua. Desde $\omega$ es denso en $\Psi$, es suficiente para mostrar que $f[\omega]$ está acotada. Si no, podemos optar $S=\{n_k:k\in\omega\}\subseteq\omega$ tal que $f(n_{k+1})\ge f(n_k)+1$ por cada $k\in\omega$. El maximality de $\mathscr{A}$ asegura que hay un $A\in\mathscr{A}$ tal que $A\cap S$ es infinito. Deje $A_0=\{k\in\omega:n_k\in A\cap S\}$. A continuación,$\langle f(n_k):k\in A_0\rangle\to f(A)$, lo que contradice la elección de $S$.
$\Psi$ claramente es $T_2$ y tiene una clopen base, por lo que es Tikhonov. No es normal, sin embargo, ya en $T_4$ espacios pseudocompactness es equivalente a contables de la compacidad.
Agregado: Este ejemplo es algo parecido a lo que Steen & Seebach llamar a la fuerte ultrafilter de la topología.
Tenga en cuenta que la compacidad secuencial implica también pseudocompactness, por lo que cualquier secuencialmente compacto de un espacio que no es compacto funcionará tan bien (el punto particular de la topología no es secuencialmente compacto, por lo que es diferente especie).
Por ejemplo, el Corson espacio de $\Sigma([0,1]^\kappa)$ de las secuencias de longitud $\kappa$ contables con el apoyo no es compacto para innumerables $\kappa$ (que es fácil de ver), pero es secuencialmente compacto (que es un poco más difícil de ver). También es completamente regular Hausdorff, que la convierte en una especie de "más fuerte" ejemplo de punto en particular de la topología. $\Sigma(2^\kappa)$ debería funcionar bien para esto.
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