Límite de la integral$\int_0^1\frac{n\cos x}{1+x^2n^{3/2}}\,dx$

Question

Demostrar que $\displaystyle\int_0^1\frac{n\cos x}{1+x^2n^{\frac32}}dx\rightarrow0$$n\rightarrow\infty$.

$f_n(x)=\frac{n\cos x}{1+x^2n\sqrt{n}}$ tiende a cero la función pointwise. Sólo converge uniformemente en cada intervalo compacto $[\epsilon,1]$, pero$f_n(0)=n$ tiende a $+\infty$ y no podemos utilizar el reemplazo de límite e integral con este razonamiento.

Así, el otro método útil para controlar el límite de las integrales, es Lebesgue Teorema de Convergencia Dominada. Pero yo todavía no puede encontrar la adecuada dominante no negativo y measureble la función en $[0,1]$ para la secuencia de $\{f_n\}$.

Primero parece que el término $\cos x$ no tiene impacto en el resultado. A continuación, para cada una de las $p<1$, natural de $m$ que $f_m(x)$ no está dominado por $g(x)=\frac{1}{x^p}$ en todo el intervalo. (Lo observaba a través de trazado).

Creo que en el proceso de encontrar un buen desigualdad, debemos generar $n$ en el denominador y el uso de $n>1$.

Answer 1

Realice la sustitución:$x = \left(\dfrac{t}{n^{3/2}}\right)^{1/2}$

Entonces, $\displaystyle \int_0^1\frac{\cos x}{1+x^2n^{\frac{3}{2}}}\,dx = \frac{n^{-3/4}}{2}\int_0^{n^{3/2}}\frac{t^{-1/2}}{1+t}\cos \left(\dfrac{t}{n^{3/2}}\right)^{1/2}\,dt$

Considere, la secuencia de funciones$f_n: [0,\infty] \to \mathbb{R}$:

$\displaystyle f_n(t) = \frac{t^{-1/2}}{1+t}\cos \left(\dfrac{t}{n^{3/2}}\right)^{1/2}\chi_{n}(t)$, dónde, $\displaystyle \chi_n(t) = \begin{cases}1,\textrm{ when } t \in [0,n^{3/2}] \\ 0, \textrm{ otherwise } \end{cases}$

Entonces,$\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} f_n(t) = \frac{t^{-1/2}}{1+t}\cos 0 = \frac{t^{-1/2}}{1+t}$ y$f_n$ están delimitados por una función integrable:

$\displaystyle |f_n(t)| \le \frac{t^{-1/2}}{1+t}$

Entonces, se sigue del Teorema de Convergencia de Lebesgue:

$\displaystyle \begin{align} \lim\limits_{n \to \infty} \int_0^1\frac{n^{3/4}\cos x}{1+x^2n^{\frac{3}{2}}}\,dx &= \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{2}\int_0^{\infty}\frac{t^{-1/2}}{1+t}\cos \left(\dfrac{t}{n^{3/2}}\right)^{1/2}\chi_n(t)\,dt \\ &= \lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{2}\int_0^{\infty} \frac{t^{-1/2}}{1+t}\,dt = \frac{\pi}{2}\end{align}$

Por lo tanto,$\displaystyle \int_0^1\frac{n\cos x}{1+x^2n^{\frac{3}{2}}}\,dx \sim \frac{\pi}{2}n^{1/4}$ (diverge).