Orden de un subgrupo de matrices de 2x2

Question

Toma $H$ para ser el subgrupo de $G$ , un grupo de enteros 2x2 mod $p$
matrices ( $p$ es un número primo) con determinantes no nulos y la operación de multiplicación de matrices, tal que para $h \in H, det(h) = 1.$ Quiero averiguar el orden de este subgrupo. Sin embargo, tengo problemas para hacer inferencias sobre este subgrupo. Entiendo que podría ser bueno hacer esta prueba combinatoria, es decir, dado $$h = \left(\begin{array}{cc} a&b \\ c&d\end{array}\right),$$ sabemos que $det(h) = ad-bc = 1.$ Sabemos que hay como máximo máximo $p$ opciones para $a,b,c,$ y $d$ enteros dados módulo $p$ pero tengo problemas para averiguar el número de combinaciones de combinaciones de clases de equivalencia que puedo asignar a $a,b,c,$ y $d$ tal que $ad-bc = 1.$ Se agradecerá cualquier sugerencia.

Answer 1

Primero contemos los no-singular matrices. Hay $p^2-1$ opciones para la primera fila. Sea cual sea la primera fila, tenemos que evitar el $p$ múltiplos de esa fila, por lo que tenemos $p^2-p$ opciones para la segunda fila, para un total de $(p^2-1)(p^2-p)$ .

Sea cual sea el determinante, podemos hacer que $1$ dividiendo (módulo $p$ ) la segunda fila por una de $1$ , $2$ y así sucesivamente hasta $p-1$ .

Así que el número de matrices con determinante $1$ es $\frac{(p^2-1)(p^2-p)}{p-1}$ .

Answer 2

Dejemos que $F$ sea un campo finito con $p$ elementos y $GL_n(F)$ denota el grupo de todos los $n \times n$ matrices no singulares sobre $F$ y $SL_n(F)$ denota el subgrupo de $GL_n(F)$ consistente en matrices con determinante $1$ .
El determinante induce claramente un homomorfismo de $GL_n(F)$ en el grupo multiplicativo $F^*$ que tiene $p —1$ elementos. El núcleo del homomorfismo es $SL_n(F)$ y los cosets con respecto a este núcleo son los elementos de $GL_n(F)$ que tienen el mismo determinante. Como todos los cosets de un grupo deben tener el mismo orden, se deduce que el orden de $SL_n(F)$ es: $\frac{|GL_n(F)|}{p-1}$ .
Ahora queremos encontrar: $|GL_n(F)|$ . Una matriz $A$ es no singular si y sólo si sus filas son vectores linealmente independientes en $F^n$ . Por lo tanto, la primera fila $A_1$ puede ser cualquier vector no nulo en $F^n$ , por lo que hay $p^n — 1$ posibilidades. Una vez elegida la primera fila, la segunda, $A_2$ puede ser cualquier vector que no sea múltiplo de la primera fila, es decir, $A_2\neq cA_1$ , donde $c\in F$ , dejando $p^n —p$ opciones para $A_2$ . En general, la fila $A_i$ puede ser cualquier vector que no puede ser escrito en la forma $$c_1A_1 + c_2A_2 + ... + c_{i-1}A_{i-1}$$ donde $c_j \in F$ para $j=1,2,...,i-1$ . Por lo tanto, hay $p^n-p^{i-1}$ posibilidades de $A_i$ . Al multiplicar estos juntos vemos que: $|GL_n(F)|=\Pi_{k=0}^{n-1}(p^n-p^k)$ .