¿Cuántas raíces reales distintas tiene$ (x^2 + x – 2)^3 + (8–2x^2 )^3 = (x^2 + 3x + 2)^3 $?

Question

¿Cuántas raíces reales distintas tiene $ (x ^ 2 + x - 2) ^ 3 + (8-2x ^ 2) ^ 3 = (x ^ 2 + 3x + 2) ^ 3 $ tienen?

Si no cometí ningún error, la ecuación se podría reducir a la forma:$$(2+6x^2)(x+2)^3=(8–2x^2 )^3$ $

Sin embargo, no sé cómo abordar la siguiente como una mayor simplificación y luego formando los factores de nuevo sería más lento, supongo que este problema podría resolverse de una manera más fácil, ¿alguna idea?

Answer 1

Usando la idea de Aryabhata del comentario, ya que

$$\left( 8-2x^{2}\right) ^{3}=2^{3}\a la izquierda( 4-x^{2}\right) ^{3}=8 (2-x)^{3}(2+x)^{3},$$

su segunda ecuación

$$\left( 2+6x^{2}\right) \left( x+2\right) ^{3}=\left( 8-2x^{2}\right) ^{3}\tag{1}$$

es equivalente a

$$\begin{eqnarray*} \left( 2+6x^{2}\right) \left( x+2\right) ^{3} &=&8( 2-x)^{3}(2+x) ^{3}.\tag{2} \end{eqnarray*}$$

Por lo que el factor de $(x+2)^3$ en ambos lados de los rendimientos de la verdadera raíz triple $x=-2$. Para $x\ne -2$ esta ecuación $(2)$ es equivalente a

$$\begin{eqnarray*} \left( 2+6x^{2}\right) &=&-8\left( x-2\right) ^{3}\\ \left( 2+6x^{2}\right) +8\left( x-2\right) ^{3} &=&0 \\ \left( 1+3x^{2}\right) +4\left( x-2\right) ^{3} &=&0\text{.} \end{eqnarray*}$$

Por la inspección vemos que $x=1$ es una raíz y por la división larga o de Ruffini la regla, podemos encontrar:

$$ \begin{eqnarray*} \left( 1+3x^{2}\right) +4\left( x-2\right) ^{3} =4x^{3}-21x^{2}+48x-31=\left( x-1\right) \left( 4x^{2}-17x+31\right). \end{eqnarray*}$$

Alternativamente, podríamos haber aplicado el teorema del cero racional: todas las raíces racionales de la ecuación $$d_{n}x^{n}+d_{n-1}x^{n-1}+\ldots +d_{0}=0,$$ where all the coefficients are integers, are of the form $\frac{p}{q}=\frac{\text{un factor de de }d_{0}}{\text{un factor de }d_{n}}$.

Por lo tanto, para $x\ne -2$, la ecuación de $(1)$ es equivalente a

$$\left( x-1\right) \left( 4x^{2}-17x+31\right) =0.\tag{3}$$

Desde el discriminante del término cuadrático es negativo $$\Delta =17^{2}-4\times 4\times 31=-207<0,$ de$ la ecuación original tiene el real solución $x=1$ debido a que el factor de $(x-1)$ y el triple solución real $x=-2$ debido a la común factor $(x+2)^3$. En total, dos raíces reales distintas.

Answer 2

Estamos tratando de resolver la ecuación $$(x^2 + x – 2)^3 + (8–2x^2 )^3 -(x^2 + 3x + 2)^3=0.$$ Deje $P(x)$ ser el polinomio en el lado izquierdo. Tenga en cuenta que $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$, e $8-2x^2=-2(x-2)(x+2)$, e $x^2+3x+2=(x+2)(x+1).$ Así $$P(x)=(x+2)^3[(x-1)^3-8(x-2)^3-(x+1)^3]=(x-2)^3Q(x).$$

Expanda el resto de los cubos. Tenemos $$Q(x)=-8x^3+42x^2-96x+62.$$ Tenemos muy afortunado: $x=1$ es una raíz de $Q(x)$. Divida. $$Q(x)=(x-1)(-8x^2+34x-62).$$ Es fácil comprobar, por ejemplo por la Fórmula Cuadrática, que $8x^2-34x+62=0$ no tiene raíces reales.

Así que hay un total de dos raíces reales distintas, $x=-2$$x=1$.

Su cálculo: las Cosas han funcionado bien, si después de la (correcta) la simplificación de la diferencia de los cubos que había utilizado el hecho de que $8-2x^2=-2(x+2)(x-2)$. Pero, excepto en circunstancias especiales, de que esto pasa a ser uno, es más fácil tratar con una ecuación polinomial de la forma $P(x)=0$ que con una de la forma $P_1(x)=P_2(x)$.

Comentario: La pregunta tiene una muy artificial carácter, debido a la aparición de una evidente raíz de $x=-2$ de la multiplicidad, al menos,$3$. Le dio un "arbitrario" grado $6$ polinomio, las técnicas para encontrar el número de raíces reales sería muy diferente. Hoy en día, casi automáticamente el primer paso es ver qué software graficador, o una herramienta como Wolfram Alpha, tiene que decir.

Answer 3

Siempre hay el teorema de Sturm. A veces es mejor dedicar unos minutos a la fuerza bruta que unas pocas horas buscando una solución inteligente.

Answer 4

Solo soy un matemático perezoso que tiene acceso a Mathematica. Así que aquí tienes:

NSolve [(x ^ 2 + x - 2) ^ 3 + (8 - 2 x ^ 2) ^ 3 == (x ^ 2 + 3 x + 2) ^ 3, x, Reales]

Fuera [7] = {{x -> - 2.}, {X -> - 2.}, {X -> - 2.}, {X-> 1.}}

Cuando sueltas Reals, obtienes:

Fuera [8] = {{x -> - 2.}, {X -> - 2.}, {X -> - 2.}, {X-> 1.}, {X-> 2.125 -1.79844 I} , {x-> 2.125 +1.79844 I}}

como una respuesta. Pero probablemente estabas buscando una forma más inteligente que una calculadora demasiado grande.