Cómo probar "valores propios del polinomio de la matriz$A$ = polinomio de valores propios de la matriz$A$"

Question

El título parece un poco retorcido. Lo que quiero decir es lo siguiente:

$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$, polinomio de matriz $A$: P(a)=$\displaystyle \sum_{k=0}^{n} c_k A^k$. $\lambda(A)$ es el conjunto de valores propios de a $A$.

Así, queremos demostrar a $\lambda(P(A))=P(\lambda(A))$

Hasta el momento, puedo probarlo al $A$ es diagonalisable, pero al $A$ no es diagonalisable, parece que no podemos simplemente utilizar la forma normal de Jordan para demostrarlo. (O esta declaración no se puede sostener cuando no diagonalisable?)

¿Alguien puede sugerirme algo para ayudarme? Gracias!

Answer 1

El resultado es true sólo si usted permite que el complejo de autovalores.

Si $\lambda$ es un autovalor de a $A$ $Av=\lambda v$ para un valor distinto de cero vector columna $v\in\mathbb R^n$. Es fácil demostrar que en este caso $p(A)v=p(\lambda)v$ para cualquier polinomio no constante $p$, lo que muestra que $p\bigl(\lambda(A)\bigr)\subseteq\lambda\bigl(p(A)\bigr)$. Por el contrario, vamos a $\mu\in\lambda\bigl(p(A)\bigr)$ donde $p$ es un polinomio no constante. Puedes factor de $p(X)-\mu$ sobre los números complejos, la obtención de

$$p(X)-\mu=a\prod_{i=1}^m(X-a_i)\,,$$

donde $a,a_i\in\mathbb C$. Por lo tanto, tenemos $p(A)-\mu I=a\prod_{i=1}^m(A-a_iI)$. Debido a que la matriz $p(A)-\mu I$ a no es invertible, entonces algunos de la matriz $A-a_iI$ no es invertible. Esto demuestra que $\mu=p(a_i)$ donde $a_i$ es un complejo autovalor de a $A$, que es, para algunos distinto de cero vector columna $w\in\mathbb C^n$$Aw=a_iw$.

De la necesidad de la inclusión de autovalores complejos, considere la matriz $A=\binom{0\ -1}{1\ \ \ 0}$, que no real de los autovalores (de verificación). Sin embargo $A^2=-I$ ha $-1$ como valor propio. Lo que sucede en este caso es que el $i$ $-i$ son el complejo autovalores de a $A$, por lo que, en particular,$\lambda(A^2)=\{(\pm i)^2\}=\{-1\}$.