Cada secuencia convergente es una secuencia de Cauchy.

Question

Hoy, mi profesor demostró a nuestra clase que toda secuencia convergente es una secuencia de Cauchy y dijo que lo contrario no es cierto, es decir, no toda secuencia de Cauchy es una secuencia convergente. Sin embargo, no demostró la segunda afirmación. ¿Hay un ejemplo o una prueba donde una secuencia de Cauchy no sea convergente?

Answer 1

En el espacio métrico $(0, 1]$, la secuencia $(a_n)_{n=1}^\infty$ dada por $a_n = \frac{1}{n}$ es de Cauchy pero no es convergente.

Answer 2

No encontrarás ninguna secuencia de valores reales (en el sentido de secuencias definidas en $\mathbb{R}$ con la norma habitual), ya que este es un espacio completo. (Por definición, un espacio métrico es completo si... cada secuencia de Cauchy en este espacio converge).

Pero puedes encontrar contraejemplos en espacios métricos más "exóticos": mira, por ejemplo, la sección correspondiente del artículo de Wikipedia. Uno de los ejemplos clásicos es la secuencia (en el conjunto de los racionales, $\mathbb{Q}$), definida por $x_0=2$ y $$ x_{n+1} = \frac{x_n}{2} + \frac{1}{x_n} $$ para $n \geq 0$. Se puede demostrar que esta secuencia es de Cauchy; pero converge a $\sqrt{2}$, que no es un número racional: por lo tanto, la secuencia $(x_n)_{n\geq 0}$ es de Cauchy (en $\mathbb{Q}$), pero no convergente (en $\mathbb{Q}$).

(Nota que la misma secuencia, si se define como una secuencia en $\mathbb{R}$, sí converge, ya que $\sqrt{2}\in\mathbb{R}$).