Estructura hiperbólica en el toroide

Question

¿Existe algún argumento elemental rápido de por qué no se puede dotar al toro estándar de una estructura hiperbólica?

Answer 1

Si no te gusta la respuesta dada por Mike Miller en los comentarios, aquí tienes una explicación de "tijera y papel hiperbólico" (quizá un poco chapucera y no la mejor, pero quizá te hagas una idea)

Supongamos que se tiene una estructura hiperbólica en el toroide. Escoge un punto del toroide y corta un bucle simple que pase por ese punto. El resultado es un cilindro, cuya frontera está formada por dos copias de la espira y dos copias del punto sobre estas dos espiras. A continuación, se corta un arco simple que une las dos copias del punto. Se obtiene un cuadrilátero (posiblemente con aristas curvilíneas) con estructura hiperbólica. Esto significa que puedes colocarlo "plano" (hm, suena a oxímoron... quizá lo sea...) en el plano hiperbólico. El punto fijado inicialmente en el toro se convierte ahora en los cuatro vértices del cuadrilátero en el plano hiperbólico. Llamémoslos $A, B, C, D$ ordenados de forma cíclica, de modo que $AB, BC, CD$ y $DA$ son los pares de vértices conectados por aristas (curvas, no geodésicas) del cuadrilátero. A continuación, dibujar la única geodésica hiperbólica $l_{AB}$ entre $A$ y $B$ geodésica $l_{BC}$ entre $B$ y $C$ geodésica $l_{CD}$ entre $C$ y $D$ y geodésica $l_{CA}$ entre $C$ y $A$ . Ahora resulta que las dos geodésicas $l_{AB}$ y $l_{CD}$ tienen la misma longitud, y las otras dos geodésicas $l_{BC}$ y $l_{DA}$ también tienen la misma longitud. Volviendo a pegar el cuadrilátero ahora primero a lo largo de $l_{AB}$ y $l_{CD}$ y luego a lo largo de $l_{BC}$ y $l_{DA}$ conduce al mismo toro con la misma estructura hiperbólica. Como resultado de este encolado, los cuatro puntos $A, B, C, D$ se unen al punto inicialmente elegido en el toro y como la estructura hiperbólica es "suave" alrededor de cada punto, es suave alrededor del punto fijo en particular, por lo que los cuatro ángulos en los vértices de la versión geodésica del cuadrilátero $ABCD$ se unen para formar un ángulo $2\pi$ . Pero el cuadrilátero geodésico $ABCD$ está en el plano hiperbólico y según la geometría hiperbólica, la suma de sus ángulos debe ser estrictamente menor que $2\pi$ que es una contradicción.