Confusión en la evaluación del límite $\lim_{x\to-\infty}\sqrt{x^2+ax}-\sqrt{x^2+bx}$

Question

Estaba resolviendo una pregunta relacionada con funciones y me encuentro con un límite que no puedo entender.La pregunta es
Si $a$ y $b$ son números reales positivos tales que $a-b=2,$ entonces encuentra el menor valor de la constante $L$ para lo cual $\sqrt{x^2+ax}-\sqrt{x^2+bx}<L$ para todos $x>0$

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Primero encontré el dominio de definición de la función en cuestión $\sqrt{x^2+ax}-\sqrt{x^2+bx}$ El dominio es $x\geq0 \cup x\leq -a$ .
Entonces encontré las asíntotas horizontales como $x\to \infty$ .
$\lim_{x\to\infty}\sqrt{x^2+ax}-\sqrt{x^2+bx}=\lim_{x\to\infty}\frac{(a-b)x}{\sqrt{x^2+ax}+\sqrt{x^2+bx}}=\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{\sqrt{x^2+ax}+\sqrt{x^2+bx}}$
$=\lim_{x\to\infty}\frac{2}{\sqrt{1+\frac{a}{x}}+\sqrt{1+\frac{b}{x}}}=\frac{2}{2}=1$
Entonces encontré las asíntotas horizontales como $x\to -\infty$ .
$\lim_{x\to-\infty}\sqrt{x^2+ax}-\sqrt{x^2+bx}=\lim_{x\to-\infty}\frac{(a-b)x}{\sqrt{x^2+ax}+\sqrt{x^2+bx}}=\lim_{x\to-\infty}\frac{2x}{\sqrt{x^2+ax}+\sqrt{x^2+bx}}$
$=\lim_{x\to-\infty}\frac{2}{\sqrt{1+\frac{a}{x}}+\sqrt{1+\frac{b}{x}}}=\frac{2}{2}=1$

Pero cuando dibujé la gráfica usando la calculadora gráfica, la asíntota horizontal como $x\to-\infty$ fue $-1$ No entiendo qué error he cometido al calcular el límite como $x\to -\infty$

Entonces supongo que debería haber hecho la sustitución $x=-t$ y
$\lim_{x\to-\infty}\sqrt{x^2+ax}-\sqrt{x^2+bx}=\lim_{t\to\infty}\sqrt{t^2-at}-\sqrt{t^2-bt}=\lim_{t\to \infty}\frac{(b-a)t}{\sqrt{t^2-at}+\sqrt{t^2-bt}}=\lim_{t\to\infty}\frac{-2t}{\sqrt{t^2-at}+\sqrt{t^2-bt}}$
$=\lim_{t\to\infty}\frac{-2}{\sqrt{1-\frac{a}{t}}+\sqrt{1-\frac{b}{t}}}=\frac{-2}{2}=-1$

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Quiero preguntar por qué la respuesta fue errónea en el primer método y correcta en el segundo.

¿Es necesario poner siempre $x=-t$ y cambiar el límite a más infinito mientras se calcula el límite como $x\to-\infty$
Por favor, ayúdenme. Gracias.

Answer 1

La respuesta breve a su pregunta es que $x=\sqrt{x^2}$ sólo para $x > 0$ . Para $x<0$ tenemos $x=-\sqrt{x^2}$ .

En el primer método, el hecho de que $$\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+ax}+\sqrt{x^2+bx}} = \dfrac2{\sqrt{1+a/x}+\sqrt{1+b/x}}$$ es cierto sólo para $x > 0$ . Para $x<0$ tenemos $x = -\sqrt{x^2}$ y por lo tanto tenemos $$\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+ax}+\sqrt{x^2+bx}} = -\dfrac2{\sqrt{1+a/x}+\sqrt{1+b/x}}$$

Answer 2

Fíjate, aquí hay un método más fácil de resolver

dejar $x=-\large \frac{1}{t}$ , $$\lim_{x\to -\infty}(\sqrt{x^2+ax}-\sqrt{x^2+bx})$$ $$=\lim_{t\to 0^+}\left(\sqrt{\left(\frac{-1}{t}\right)^2+a\left(\frac{-1}{t}\right)}-\sqrt{\left(\frac{-1}{t}\right)^2+b\left(\frac{-1}{t}\right)}\right)$$ $$=\lim_{t\to 0^+}\frac{1}{t}\left(\sqrt{1-at}-\sqrt{1-bt}\right)$$ $$=\lim_{t\to 0^+}\frac{\left(\sqrt{1-at}-\sqrt{1-bt}\right)\left(\sqrt{1-at}+\sqrt{1-bt}\right)}{t\left(\sqrt{1-at}+\sqrt{1-bt}\right)}$$ $$=\lim_{t\to 0^+}\frac{1-at-1+bt}{t\left(\sqrt{1-at}+\sqrt{1-bt}\right)}$$ $$=\lim_{t\to 0^+}\frac{b-a}{\sqrt{1-at}+\sqrt{1-bt}}$$ $$=\frac{(b-a)}{1+1}=\color{red}{\frac{b-a}{2}}$$

Answer 3

Lo que hay que recordar es que $\sqrt{x^2} = |x|$ -- en el fondo, la composición de la raíz cuadrada con el operador cuadrático da como resultado algo que es básicamente bi-lineal.

Considere $x^2 -3x + 4$ ; expresémoslo primero como una transformación de $x^2$ :

$$x^2-3x+4 = (x-\frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}$$

Cuando tomamos la raíz cuadrada de esta expresión, y dejamos que $x$ alejarse arbitrariamente del vértice de la parábola, el desplazamiento vertical importará cada vez menos. Para ver esto, considera las gráficas de $\sqrt{x^2-3x+4}$ y de $\sqrt{x^2-3x+10}$ (es decir, que sólo difieren en su constante):

( vía Wolfram|Alpha )

A medida que nos alejamos del vértice subyacente ( $\frac{3}{2}$ ), la diferencia en las constantes deja de importar: ambas parecen idénticas a la función absoluta subyacente, $|x-\frac{3}{2}|$ .

Volviendo al problema que nos ocupa, expresándolo como la función anterior obtenemos:

\begin{align}\sqrt{x^2+ax}-\sqrt{x^2+bx} & =\sqrt{(x+\frac{a}{2})^2-\frac{a^2}{4}}-\sqrt{(x+\frac{b}{2})^2-\frac{b^2}{4}} \\\\ & \approx |x+\frac{a}{2}| - |x+\frac{b}{2}| \\\\& = \frac{b}{2}-\frac{a}{2}\end{align}

La última línea sigue porque cuando $x$ se vuelve muy negativo (concretamente, para $x < \min \{ -\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}\}$ ), ambos $x+\frac{a}{2}$ y $x+\frac{b}{2}$ será negativo, por lo que ambos cambian de signo al tomar el valor absoluto.