Densidad conjunta de las variables aleatorias más pequeñas y más grandes entre variables aleatorias independientes finitas con densidad común

Question

Estoy tratando de demostrar el siguiente resultado.

Deje $X_1, \ldots,X_n$ ser independiente de las variables aleatorias con el común de la densidad de $f$ y la función de distribución de $F$. Si $X$ es el más pequeño y $Y$ el más grande entre ellos, la articulación de la densidad de los par $(X, Y)$ $y>x$ está dado por $$n(n-1)f(x)f(y)[F(y)-F(x)]^{n-2}$$

Algunos pensamientos hacia una solución parcial

Intento 1:

Dado que todos ellos comparten la misma densidad, la Articulación de la densidad se puede calcular como $$f_{X,Y}( x,y) = f_{Y\mid X}( y\mid x) f( x) = f_{X\mid Y}( x\mid y) f( y)$$

De modo que podemos elegir $x$ $n$ formas y fijación $x$, se puede elegir el máximo de la variable aleatoria como $C_{1}^{n-1} = (n-1)$ esto explica, $n(n-1)f(x)f(y)$ parte pero estoy seguro de por qué la diferencia de las funciones de distribución de la $y$ $x$ veces $(n-2)$. sé que tenemos $n-2$ variables que todavía cuenta y que están siendo integrados. Por lo tanto debemos tener $(n-2)$ términos, pero ¿por qué la diferencia ?

Intento 2: El espacio muestral correspondiente a $X_1, \ldots,X_n$ $n$- dimensiones hipercubo $\Gamma $ definido por $x_k=f$ y las probabilidades de igualdad de la $n$-dimensiones de volumen. El natural espacio muestral con el $X_k$ como coordinar las variables es el subconjunto $\Omega$ $\Gamma$ que contiene todos los puntos tales que $x_1\leq \cdots \leq x_n$. El hipercubo contiene $n!$ congruentes réplicas del conjunto $\Omega$, y en cada uno de los ordenados $n$-tupla $(X_1,\ldots,X_n)$ coincide con un fijo de permutación de $X_1,\ldots, X_n$.

No estoy seguro de que estoy recibiendo en cualquier lugar con estos pensamientos. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Si primero encuentras el CDF conjunto del par, luego lo diferencias para obtener la densidad, entonces estás encontrando una probabilidad y luego diferenciando. $$ \begin{align} & F_{X,Y}(x,y)=\Pr(X\le x\ \&\ Y\le y) \\[10pt] & = \Pr(Y\le y) - \Pr(Y\le y\ \&\ X>x) \\[10pt] & = \Pr(\text{all observations}\le y) - \Pr(y\ge \text{all observations}>x) \\[10pt] & = (\Pr(X_1\le y))^n - (\Pr(x<X_1\le y))^n \\[10pt] & = F(y)^n - (F(y)-F(x))^n,\qquad\text{all provided that }x\le y. \end {align} $$ Luego aplique$\dfrac{\partial^2}{\partial x\,\partial y}$. (El primer término desaparece cuando se aplica$\dfrac{\partial}{\partial x}$).

Answer 2

Una heurística manera de llegar a la respuesta es que sostienen que para que conjuntamente continuo de variables aleatorias, $f_{X,Y}(x,y)\Delta x\Delta y$ es aproximadamente la probabilidad de que $(X,Y)$ se encuentra en una pequeña región rectangular de área $\Delta x\Delta y$ centrada en $(x,y)$. Así, por $y > x$, el más pequeño de $n$ variables aleatorias tiene un valor de aproximadamente $x$, la más grande tiene valor de aproximadamente $y$, y el restante $n-2$ tienen valores en el intervalo de $(x,y)$. Hay $n$ opciones para los más pequeños, $n-1$ para el más grande, y por lo que la probabilidad es $P $\{\min \aprox x, \max \aprox y\} \aprox f_{X,Y}(x,y)\Delta x\Delta y \aprox n(n-1)\cdot (f(x)\Delta x)\cdot(f_Y(y)\Delta y) \cdot [F(y)-F(x)]^{n-2}$$