Duda de una prueba de que$\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\sin{x}}{x}}=1$

Question

El pleno de la prueba se puede encontrar aquí. Básicamente, se comparan las tres áreas que dependen de $x$ en el círculo de radio $1$ se muestra a continuación.

Independientemente de que el valor de $x$, debemos tener

$$\text{area of sector OAC} < \text{area of triangle OAP} < \text{area of sector OBP}$$ $$\frac{1}{2}x(\cos{x})^2<\frac{1}{2}(\cos{x})(\sin{x})<\frac{x}{2}$$

Tengo dos preguntas al respecto:

1) no hay que ser un $\le$, en lugar del $<$ señal en la desigualdad anterior, desde los ámbitos del sector de la $OAC$ y el área del triángulo $OAP$ ambos se convierten en cero cuando se $x=\frac{\pi}{2}$?

2) Si el valor de $x$ es tal que terminamos en el cuarto cuadrante, el valor de $\sin{x}$ es negativo y la desigualdad ya no tiene (desde $\frac{1}{2}x(\cos{x})^2>0$$\frac{1}{2}(\cos{x})(\sin{x})<0$). ¿Cómo podemos ir alrededor de esto?

Gracias de antemano.

Answer 1

1) cuando estamos hablando de $x\to0$, busca en esos $x$ $0$, pero no es igual $0$. El valor de la función en $x=0$ es sólo irrelevent. Así $

2) para $\frac{\pi}{2}>x>0$, tenemos

$$\frac{1}{2}x(\cos{x})^2

Esto implica

$$\cos x

$\frac{-\pi}{2}<x entonces="" que="">y>0$ y por lo tanto</x>

$$\cos y

Tenga en cuenta que $\sin x=\sin(-y)=-\sin y$ y $\cos x=\cos(-y)=\cos y$.

Así que todavía tenemos

$$\cos x

Answer 2

1. Sí, si usted permite que degeneran figuras, como triángulos con ningún área, entonces usted tiene una débil desigualdad en lugar de la desigualdad estricta. De hecho la habitual versión de la exprimir requiere este ser débil de la desigualdad. A pesar de que desde ese punto límite fuera del dominio de esta desigualdad estricta, es aceptar que el texto utiliza estrictos.

2. en $x=\pi/2$, la fórmula ya no se sostiene, ya que el área del triángulo es igual a cero, pero la circular sectores que no lo son. Basta con mirar a su figura.

Answer 3

Para la pregunta 1)

Tenga en cuenta que el límite se toma a $x=0$. La igualdad se produce en $x= \frac {\pi}{2}$ para quitar el signo de igualdad no importa.

Para la pregunta 2)

Al dividir ambos lados de la $$\frac{1}{2}x(\cos{x})^2\frac{1}{2}(\cos{x})(\frac {sin{x}}{x})>\frac{1}{2}$$ Notice that if $x $ approaches $0$ we still get the desired result of $% $$\lim_{x\to 0} \frac {\sin x}{x}=1$.

Answer 4

ps

Answer 5

@sirous, no puedes usar la regla de L'Hopital para evaluar este límite. Resulta en razonamiento circular porque ¿cómo sabes que (sinx) '= cosx? Requiere un conocimiento del límite deseado para evaluar. Por lo tanto, el uso de la regla de L'Hopital da como resultado una falacia matemática. Las mejores respuestas se han mencionado anteriormente.