Resumen de la serie de potencia

Question

Intentando encontrar la suma de las siguientes series infinitas:

ps

¿Alguna idea sobre cómo encontrar esta suma?

Answer 1

Tenga en cuenta que para$t$%, $$\frac{1}{1+t^2}=1-t^2+t^4-t^6+\cdots.$ $% integra término por término de$0$ a$x$. Obtenemos$$ \arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots. Divide por$x$. Obtenemos$$\frac{\arctan x}{x}=1-\frac{x^2}{3}+\frac{x^4}{5}-\frac{x^6}{7}+\cdots. Finalmente, dejamos$x=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Answer 2

Considere $$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-x^2)^{n-1}}{2n-1}$ $ Then$$ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^{2n-2}}{2n-1} $$x\, f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{2n-1}$$$ $(x\, f(x))'=\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1}x^{2n-2}}=\sum_{n=1}^{\infty}{(-x^2)^{n-1}}=\sum_{n=0}^{\infty}{(-x^2)^n}=\frac{1}{1+x^2}$ $$$x\, f(x)=\int \frac{1}{1+x^2}={\tan}^{-1}x$$$ $f(x)=\frac{{\tan}^{-1}x}{x}$ $Su serie es igual a$$f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ $

Answer 3

Sugerencia: $\text{arctanh }x=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{2n-1}}{2n-1}$

Answer 4

$$\frac{x^{n-1}}{2n-1} = \frac{y^{2n-2}}{2n-1} \quad \text{donde }y=\sqrt x$$ y $$\frac d {dy}\, \frac{y^{2n-1}}{2n-1} = y^{2(n-1)} = x^{n-1}.$$ $$\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{2n-1} = \sum_{n=1}^\infty \frac{y^{2n-1}}{2n-1}.$$ La derivada de esta con respecto a $y$ es $$\sum_{n=1}^\infty y^{2n-1} = \frac y {1-y^2} = \frac {1-y} + \frac B {1+y},$$ para encontrar la antiderivada de que, con respecto a $y$ (usted tendrá que encontrar $A$$B$) y después de eso, averiguar lo que tiene que ver con la función de $x=y^2$.

Answer 5

Puedes considerar la suma geométrica$\sum_{n=0}^\infty \left(-\frac {x^2}3\right)^n$

Esta serie también es$\sum_{k=2}^\infty \left(-\frac{x^2}3\right)^{k-1}=\sum_{k=1}^\infty \left(-\frac13\right)^{k-1} x^{2k-2}$ y una integración de 0 a x da

$\sum_{k=1}^\infty \left(-\frac13\right)^{k-1} \frac{x^{2k-1}}{2k-1}$. Entonces puede calcular la suma de la serie a partir de la suma geométrica.