Dimensión cohomológico de un intervalo de no-compacto

Question

Iversen, en "Cohomology de Poleas," demuestra una serie de teoremas sobre la cohomological dimensión de un local en espacio reducido. En particular, si $\mathcal{F}$ es alguna gavilla en $\mathbb{R}^1$, se ha demostrado que la forma compacta compatible cohomology de $\mathcal{F}$ se desvanece en grado mayor que uno.

El argumento es bastante resbaladiza, es decir, vamos a $\mathcal{F}$ ser una gavilla, y deje $\alpha \in H^2_c(X, \mathcal{F})$ un no-desaparición de cohomology de la clase. Por generalidades sobre el directo de los límites y la gavilla cohomology, Iversen argumenta que existe un mínimo conjunto cerrado $Z \subset \mathbb{R}^1$ tal que $H^2(Z, \mathcal{F})$ no es cero---es decir, por Zorn es suficiente para demostrar que si $\alpha$ restringe a distinto de cero una cohomology de clase en orden descendente de la cadena de subconjuntos cerrados, entonces se restringe a un valor distinto de cero de la clase en la intersección. (Este es el hecho alusión directa límites.) Ahora si $Z$ es este conjunto mínimo, el de Mayer-Vietoris secuencia(!) muestra que $\alpha$ no se puede asignar a cero en ambos $H^2_c(Z \cap [t, \infty))$ $H^2_c(Z \cap (-\infty, t])$ (o sería cero porque el cohomology de un punto es trivial). Pero esto es una contradicción si $t$ es elegido de forma adecuada.

Es esto cierto ordinario gavilla cohomology? El de Mayer-Vietoris secuencia es ciertamente bien, pero sin la solidez de la demanda sobre los cohomology y directo de los límites de falla. (E. g. en el grado cero. Por ejemplo, tome $\bigoplus (i_n)_*(\mathbb{Z})$ donde $i_n$ es la inclusión de $\{n\}$, por lo que las secciones sobre $\mathbb{R}$ es un infinito producto $\prod \mathbb{Z}$, claramente mucho más grande que el colimit (que es una infinita suma directa).) No obstante, sería intuitivamente muy atractivo si $\mathbb{R}$ no tenía gavilla cohomology en dimensiones mayores que uno.

Answer 1

Gavilla cohomology de un paracompact espacio puede ser calculada usando Čech cohomology. Ahora, la dimensión topológica de $\mathbb R$ es un uno, así que hay un cofinal de la familia de abrir los revestimientos de $\mathbb R$ para que el Čech complejo es trivial por encima de la dimensión de $1$. Que $\mathbb R$ ha cohomological de dimensión uno de la siguiente manera (bueno, uno tiene que comprobar que la dimensión de la realidad, no es cero, por supuesto)

Una agradable referencia para todo esto es Godement del libro Théorie de faisceaux.

Más tarde: también se puede utilizar Godement del teorema de 4.14.2 que establece que si $X$ es un metrisable espacio con $\operatorname{cd}X\leq n$, entonces cada subespacio $Y\subseteq X$$\operatorname{cd}Y\leq n$.