Demostrar que $v, Tv, T^2v, ... , T^{m-1}v$ son linealmente independientes.

Question

Supongamos que $T$ está en $L(V)$, $m$ es un entero positivo, y $v$ en el espacio vectorial $V$ es tal que

$(T^{m-1})v \neq 0$,

y

$(T^m)v = 0$.

Demuestra que $[v, Tv, T^2v, ... , T^{m-1}v]$ es linealmente independiente

Entiendo que $(T^j)v \neq 0\ \forall\ j < m$. Además, dado que $T$ es nilpotente, $V$ tiene una base con respecto a la cual la matriz de $T$ tiene $0$s en y debajo de la diagonal.

Sin embargo, no estoy seguro si esto puede utilizarse para demostrar la independencia lineal o si es relevante para el problema en absoluto.

¡Cualquier ayuda es apreciada!

Answer 1

Es simple hacerlo directamente:

Si $a_0 v + a_1 Tv +a _2 T^2v + \cdots + a_{m-1} T^{m-1}v=0$, entonces aplica $T^{m-1}$ y obtén $a_0 T^{m-1}v=0$, lo que implica $a_0=0$. Ahora aplica $T^{m-2}$ para obtener $a_1=0$. Y así sucesivamente.

Answer 2

La matriz $T$ no necesita ser nilpotente. Tomemos un ejemplo simple: $n=2$. Digamos que tienes un vector $v$ con $Tv\ne0$, pero $T^2v=0$. Sea $w=Tv$. Necesitamos demostrar que $av+bw=0$ implica $a=b=0$. Pero al aplicar $T$ obtenemos $$0=T(av+bw)=aTv+bTw=aw.$$ Como $w\ne0$, $a=0$. Por lo tanto, $bw=0$ y así $b=0.

¿Puedes hacer algo similar para $n=3$? ¿Para $n$ general?