Calcular la función de densidad de $Y=\frac{1}{X}-X$ donde $X\sim U[0,1]$

Question

Sé que : $$f_X(x)=\cases{1 & $ x\in [0,1] $\\0 & $ x\notin[0,1] $}$$ Entonces: $$P(Y\leq y)=P(\frac{1}{X}-X\leq y)=P(X\leq\frac{1}{2}(\sqrt{y^2+4}-y))$$ como $$\frac{1}{x}-x=y\rightarrow x\frac{1}{x}-xx=yx\rightarrow 1-x^2=yx\rightarrow 1-x^2-xy=0\rightarrow \cases{\frac{1}{2}(\sqrt{y^2+4}-y)\\\frac{1}{2}(-\sqrt{y^2+4}-y)}$$ He supuesto que la raíz es positiva (no sé si es correcto). Así que estoy atascado a partir de ahora. Alguna sugerencia.

Answer 1

Como mencionan @André y @Did, tu signo de desigualdad está mal puesto. Deberíamos tener $$F_Y(y)= P(Y\leq y) = P\left(\dfrac{1}{X}-X \leq y \right) = P\left(X^2+yX-1 \geq 0 \right).$$ Has encontrado correctamente las raíces cuadráticas. Así que la solución general a la desigualdad cuadrática es $$X\leq \frac12\left(-y-\sqrt{y^2+4}\right)\quad\text{or}\quad X\geq\frac12 \left(-y+\sqrt{y^2+4}\right).$$ Sin embargo, debemos tener $X\in (0,1)$ así que tomamos sólo el rango positivo y obtenemos, para cualquier $y\gt 0$ , $$F_Y(y) = P\left(X\geq\frac12 \left(-y+\sqrt{y^2+4}\right)\right) = \dfrac{2+y-\sqrt{y^2+4}}{2}.$$ Para $y\le0$ , $F_Y(y)=0$ . Diferenciación $F_Y$ (y reordenando ligeramente el resultado) muestra que la densidad $f_Y$ es $$f_Y(y) = \frac{\mathbf 1_{y>0}}{2}\left(1-\frac{y}{\sqrt{4+y^2}}\right) = \frac{\left(\sqrt{4+y^2}-y\right)\,\mathbf 1_{y>0}}{2\sqrt{4+y^2}} \cdot \frac{\sqrt{4+y^2}+y}{\sqrt{4+y^2}+y} = \frac{2\,\mathbf 1_{y>0}}{4+y^2+y\sqrt{4+y^2}}.$$