¿Hay un nombre para la "famosa" desigualdad$1+x \leq e^x$?

Question

Hay un nombre para el "famoso" de la desigualdad $1+x \leq e^x$? Tiene muchas variantes dependiendo de cómo organizar los términos:

$$1 + x \leq e^x$$ $$e^{-x} -x - 1 \geq 0 $$ $$\ln(1+x) \leq x$$

Et cetera.

Quizá la más simple recurso mnemotécnico es, "$e^x$ se encuentra por encima de su recta tangente en el origen." Esta es al menos una forma geométrica en lugar de arbitrario expresión algebraica de la realidad.

Surge en ciencias de la computación y la probabilidad de pruebas con bastante frecuencia. En particular, es un lema a Chernoff límites, y algunos resultados sobre el tipo perceptrón y el algoritmo de la navaja de Occam en el PAC modelo de aprendizaje. Es muy fácil demostrar por dibujar un gráfico o tomando un derivado.

¿Tiene un nombre?

Más generalmente, quiero preguntar "por qué" es tan importante, pero esta es una muy suave pregunta y la única esperanza para acostumbrarse a ella en el tiempo.

Answer 1

Es tan importante porque proporciona un buen límite inferior para $e^x$ para pequeño $x$.

La desigualdad $\log(1+x) \ge 1+x$ para $0 \le x$ sigue fácilmente de $\log(x) =\int_1^x \frac{dt}{t} $.

Es un caso muy especial el hecho de que la tangente a una curva en un punto es el mejor local lineal aproximación a la curva de en ese punto.

Analíticamente, por supuesto, esto es sólo los dos primeros términos de la Desarrollo en serie de Taylor: $f(x+h) \aprox f(x)+hf'(x)+h^2f"(x)/2+... $. Con el adecuado resto término, esto muestra que, si $f''(x) \ge 0$, entonces $f(x+h) \ge f(x)+hf'(x) $.

Answer 2

La intuición geométrica es ciertamente que$1+x$ es la línea tangente a$e^x$ en$0$, por lo que esto equivale a la afirmación de que "$e^x$ se encuentra por encima de su línea tangente en el origen. " La desigualdad es ajustada como$x \rightarrow 0$ en el sentido de que$e^x = 1 + x + o(x)$.

También es el límite del límite de Bernoulli$(1+x/n)^n \geq 1+x$, tomando$n \rightarrow \infty$.