Encontrar integral indefinida 2

Question

$$\int\frac{\sqrt{a+x}}{\sqrt{a}+\sqrt{x}}\, dx$$

Hace un par de días le pregunté a un similar (mirando) pregunta donde todas las ventajas aquí fueron negativos. Podría ser mucho más fácil de manipular que esta utilizando la diferencia de $2$ plazas. El otro método utilizado para resolver el anterior problema es la sustitución de $x$$\arccos^2x$. Por curiosidad he intentado usar el último método para resolver esta integral, y de hecho muy poco progreso con él.

Sólo para asegurarse de que esta integral tiene una solución, Wolframalpha encontrado una solución que no estaba demasiado mal.

La sustitución de $x$$\arctan^2t$, la integral se convierte en

$$\int\frac{2a \sec^3 t \tan t}{1+\tan t}\, dt$$

A partir de aquí he intentado para llevarlos a cabo, integración por partes, donde $2a$ es tomado fuera de la integral, y numberator dividido en $sec x\tan x$ veces $\sec^2x$ $u$ $v'$ respectivamente. $v$ puede ser fácilmente encontrado, sino $u'$ es desordenado. Integración por partes necesarias para ser hecho de nuevo, también, que habría terminado muy desordenado.

Así que traté de convertir todo en los senos y cosenos, a continuación, dejando $u$ igual $\cos t$, e $du$ igual a $-\sin tdt$.

$$\int\frac{2a\sin t}{\cos^3 t \cos t +\sin t}\, dt$$

$$\int\frac{-2au}{u^3 u+\sqrt{1-u^2}}\, dt$$

Sin embargo, que no se ve muy muy bien. Creo que no es posible realizar el Parcial Fracción de Descomposición.

¿Cuáles son los caminos correctos a tomar para resolver esta integral? ¿Hay algún 'trucos del oficio' que he perdido por el camino?

Answer 1

Multiplicamos por$1 = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{x}}{\sqrt{a} - \sqrt{x}}$:$$\int\frac{\sqrt{a+x}}{\sqrt{a}+\sqrt{x}}dx = \int\frac{\sqrt{a^2+ax} - \sqrt{ax + x^2}}{a - x}dx$ $ Ahora podemos separar la integral en dos partes. Para la parte izquierda:$$\int\frac{\sqrt{a^2+ax}}{a - x}dx = \int\frac{\sqrt{y}}{2a^2-y}dy = \frac{\sqrt{2}}{a}\int\frac{z^2}{a\sqrt{2}+z}+\frac{z^2}{a\sqrt{2}-z}dz$ $ Después de las sustituciones$y = a^2 + ax$ y$z^2 = y$. Esta integral evalúa fácilmente a$$4z-8+2\sqrt{2}a(\log(z+a\sqrt{2}) - \log(z-a\sqrt{2})) =$ $$$=4\sqrt{a^2+ax}-8+2\sqrt{2}a(\log(\sqrt{a^2+ax}+a\sqrt{2}) - \log(\sqrt{a^2+ax}-a\sqrt{2}))$ $ No he intentado aún evaluar la otra integral.

Answer 2

Una forma de abordar este problema es usar las siguientes sustituciones:

$b^2=a$ y y $x=b^2u^2$

Por ejemplo $$ \begin{align} \int\frac{\sqrt{a+x}}{\sqrt{a}+\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x &=\int\frac{\sqrt{b^2+b^2u^2}}{b+bu}2b^2u\,\mathrm{d}u\\ &=2b^2\int\frac{\sqrt{1+u^2}}{1+u}u\,\mathrm{d}u\\ &=8b^2\int\frac{v(1+v^2)^2}{(1+2v-v^2)(1-v^2)^3}\,\mathrm{d}v \end {align} $$ Ahora, al menos, el problema se puede manejar con fracciones parciales. $$ \begin{align} \frac{8v(1+v^2)^2}{(1+2v-v^2)(1-v^2)^3} &=\frac2{(v+1)^3}+\frac1{(v+1)^2}+\frac3{(v+1)}\\ &-\frac2{(v-1)^3}-\frac3{(v-1)^2}-\frac3{(v-1)}\\ &+\frac{2\sqrt2}{(v-1-\sqrt2)}-\frac{2\sqrt2}{(v-1+\sqrt2)} \end {align} $$

Answer 3

Tome $x=az$ $z=s^2$ donde $s\geq 0$. Entonces

\begin{aligned} \int\frac{\sqrt{a+x}}{\sqrt{a}+\sqrt{x}}\, dx &=a \int\frac{\sqrt{1+z}}{1+\sqrt{z}}\, dz \\ &=2a \int \sqrt{1+s^2}\frac{s}{1+s}\, ds \\ &=2a \int \sqrt{1+s^2}\,ds-2a \int \frac{\sqrt{1+s^2}}{1+s}\, ds \\ &=2aI_1-2aI_2. \end{aligned}

Aquí (usando el estándar de la sustitución de $s=\sinh(t)$) $$ I_1=\frac{1}{2}\sqrt{1+s^2}+\frac{1}{2}\operatorname{arcsinh}(s)+C. $$ Ahora considere el $I_2$.

En el integrando $\sqrt{1+s^2}/(1+s)$, sustituto $s=\tan(u),\,(0\leq u<\pi/2)$$ds=du \sec^2(u)$. A continuación,$\sqrt{1+s^2}=\sqrt{1+\tan^2(u)}=\sec(u)$$u=\tan^{-1}(s)$, $$ I_2=\int\frac{\s^3(u)}{1+\tan(u)}\,du. $$ En el integrando $\sec^3(u)/(1+\tan(u))$, sustituto (el estándar) $p=\tan(u/2),\,(0\leq p<1)$$dp=(1/2)du\sec^2(u/2)$. Entonces el uso de esta sustitución $\sin(u)=(2 p)/(1+p^2)$, $\cos(u)=(1-p^2)/(1+p^2)$ y $du=(2 dp)/(1+p^2)$ obtenemos $$ I_2=\int 2 \frac{(1+p^2)^2}{(1-p^2)^3 (1+\frac{2 p}{1-p^2})} dp=\int\frac{2(1+p^2)^2}{(-1+p^2-2p)(-1+p^2)^2}\,dp. $$ Aquí (el uso de la computadora) $$ \begin{aligned} -\frac{2(1+p^2)^2}{(-1+p^2-2p)(-1+p^2)^2} &=\frac{1}{(p-1)^2}-\frac{4}{-1+p^2-2p} \\ &=-\frac{1}{p+1}+\frac{1}{p-1}-\frac{1}{(p+1)^2}. \end{aligned} $$ Estos 5 integrales puede ser calculado fácilmente. Ahora usted debe hacer una copia de sustituciones y la aplicación de una gran cantidad de identidades trigonométricas para obtener la respuesta final. Omito los detalles porque se le preguntó acerca de los métodos ('trucos') de cálculo de las integrales.

Answer 4

1. Evitar sustituciones trigonométricas, sólo funcionan en el especialmente diseñado ejemplos, es decir, si es tu única herramienta es fácil encontrar ejercicios en los que son un dolor.
2. Racionalizar el denominador, mediante la diferencia de los cuadrados como hemos visto antes.
3. Reescribir como una suma de integrales de la forma $\int R(\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}})\text{d}x$ donde $R$ son funciones racionales.
4. Aplicar la sustitución de $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, lo que siempre funciona para todos estos.

Anexo: Para que la integral que consiguió en la final puede utilizar de Euler sustituciones. Este se convierte en esa última integrando en una función racional y a partir de ahí parcial fracción de la descomposición de los acabados. Aún así, el trigonométricas sustitución fue un largo camino para llegar a la función racional.