¿Es este el uso apropiado de la Sustitución en U?

Question

Soy parte de un R&D de papel en mi trabajo, y me han dado a la tarea de modelar el campo magnético de un recipiente en forma de imán permanente. Así que esto no es parte de un libro de texto y no tengo idea de si la respuesta que yo estoy haciendo es realmente correcto por ahora, por lo tanto estoy más interesado en asegurarse de que mi procedimiento es correcto de utilizar el U-Sustitución. Yo soy esencialmente tratando de encontrar el total de la suma de las distancias de la superficie de un recipiente a un punto "P" en algún lugar sobre el eje +y.

Este es mi integral:

$$ r = \int_0^H \sqrt{a^2+ (x+h)^2} \espacio espacio\dh $$

Estos son mis pasos:

vamos $u =x +h$ ;$\frac{du}{dh}=1$

$$ r =\int_0^H \sqrt{a^2+ u^2} \espacio espacio \du $$

vamos $t = a^2+u^2 $ ; $\frac{dt}{du}=2u$

$$ r =\frac{1}{2u} \int_0^H \sqrt{t} \espacio espacio \dt $$

De problemas y volver a conectar en:

$$ r =\frac{1}{2u} \left(\frac{2}{3} t ^ {\frac{3}{2}}\right) $$

Conectar todo de nuevo en:

$$ \frac{1}{2(x+h)} \left(\frac{2}{3}[a^2+(x+h)^2]^\frac{3}{2} \right) $$

La simplificación de...

$$ r = \frac{(a^2 + [x+h]^2)^\frac{3}{2}}{2(x+h)} $$

Ahí lo tienen? Estos pasos son correctos?

Muchas gracias por ayudar.

Answer 1

1. Cuando usted sustituto, usted tiene que cambiar los límites así: $x$ varía entre el$0$$H$, lo $u=x+h$ varía entre el$H$$x+H$.

2. Este es, en cierto sentido, un problema más grave, y se cambia la naturaleza de la computación mucho: $u$ depende de $t$, por lo que no se puede sacar de la integral después de sustituto $t=a^2+u^2$. De hecho, estoy bastante seguro de que no va a llegar muy lejos con esta sustitución si se trató de llevar a cabo, debido a que las expresiones no ser más simple.

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Aquí es cómo iba a hacerlo. Deje $x+h=a\sinh{u}$. A continuación,$dh = a\cosh{u}\, du$, e $\sqrt{a^2+(x+h)^2} = \sqrt{a^2+a^2\sinh^2{u}} = a\cosh{u}$, por lo que tenemos que calcular el $$ a^2 \int \cosh^2{u} \, du. $$ $\cosh^2{u} = \frac{1}{2}(1+\cosh{2u})$, lo que ha antiderivada $$ \frac{u}{2} + \frac{1}{4}\sinh{2u} = \frac{u}{2} + \frac{1}{2}\sinh{u}\cosh{u}. $$ Deshacer la sustitución, a continuación, da $$ \int \sqrt{a^2+(x+h)^2} \, dx = \frac{1}{2} \left( a^2\arg\sinh{\left(\frac{x+h}{a}\right)} + (x+h)\sqrt{a^2+(x+h)^2} \right). $$ El primer término es reexpressible el uso de $ \arg\sinh{z}=\log{(z+\sqrt{1+z^2})}$, por lo que $$ \int \sqrt{a^2+(x+h)^2} \, dx = \frac{1}{2} \left( a^2\log{\left(\frac{x+h+\sqrt{a^2+(x+h)^2}}{a}\right)} + (x+h)\sqrt{a^2+(x+h)^2} \right), $$ y entonces usted puede poner lo de los límites en que usted desea.

Answer 2

Cada vez que realiza un$u$ - sustitución, debe cambiar los límites de la integral. Por ejemplo, inicialmente tiene la integral (con respecto a$h$) que va de$h=0$ a$h=H$. Luego haces la sustitución$u=x+h$. Entonces$u$ varía de$u=x+0=x$ a$u=x+H$. Por lo tanto, su nueva integral con respecto a$u$ debe tener un límite inferior$x$ y un límite superior$x+H$. De manera similar con la siguiente sustitución.

Answer 3

Sé que esta pregunta ha sido resuelto, pero he aquí otra forma usando integración por partes y una integración de la fórmula que, en mi experiencia, ha sido muy útil para saber. Voy a postear esto porque a pesar de que es un "no" de la ruta, yo creo que es bueno ver a los enfoques alternativos. Y para mí es algo más sencillo o natural, especialmente ya que no tengo experiencia en el uso hiperbólico sustituciones trigonométricas.

$$ r = \int_0^H \sqrt{a^2+ (x+h)^2} \, dh $$ Primer sustituto $t = x+h$, por lo que, a continuación, $dt = dh$ y los nuevos límites de integración son $x$$x+H$. $$ r = \int_x^{x+H} \sqrt{a^2+ t^2} \, dt $$ Ahora integrar por partes. Deje $u = \sqrt{a^2+t^2}$, por lo que, a continuación,$dv = dt$, $v = t$, y $du = \dfrac t{\sqrt{a^2+t^2}} \, dt$ y hemos \begin{align*} r &= \int_x^{x+H} \sqrt{a^2+ t^2} \, dt\\[0.3cm] &= t\sqrt{a^2+t^2}\bigg|_{t=x}^{t=x+H} - \int_x^{x+H} \frac{t^2}{\sqrt{a^2+t^2}} \, dt\\[0.3cm] &= (x+H)\sqrt{a^2+(x+H)^2} - x\sqrt{a^2+x^2} - \int_x^{x+H} \frac{\color{red}{a^2} +t^2\color{red}{-a^2}}{\sqrt{a^2+t^2}} \, dt\\[0.3cm] &= (x+H)\sqrt{a^2+(x+H)^2} - x\sqrt{a^2+x^2} - \int_x^{x+H} \frac{a^2 +t^2}{\sqrt{a^2+t^2}} \, dt + \int_x^{x+H} \frac{a^2}{\sqrt{a^2+t^2}} \, dt\\[0.3cm] &= (x+H)\sqrt{a^2+(x+H)^2} - x\sqrt{a^2+x^2} - \underbrace{\int_x^{x+H} \sqrt{a^2+t^2} \, dt}_{\text{This is %#%#%}} + a^2 \ln(\sqrt{a^2+t^2}+t)\bigg|_{t=x}^{t=x+H}\\[0.3cm] r &= (x+H)\sqrt{a^2+(x+H)^2} - x\sqrt{a^2+x^2} - r + a^2 \ln(\sqrt{a^2+(x+H)^2}+x+H) - a^2\ln(\sqrt{a^2+x^2}+x) \end{align*}

Ahora agregue $r$ a ambos lados y dividir por 2.