¿Cómo evalúa esta integral:$\int_0^\infty \frac {e^{ax}-e^{bx}}{(1+e^{ax})(1+e^{bx})}dx$?

Question

Esto es de la prueba de materias GRE Math, Pregunta # 55, de https://www.ets.org/s/gre/pdf/practice_book_math.pdf

Si$a,b > 0$, ¿cuál es el valor de $$ \ int_0 ^ \ infty \ frac {e ^ {ax} -e ^ {bx}} {(1 + e ^ {ax}) (1 + e ^ {bx})} dx $$

No estoy seguro si es la integración de Calc II o el Teorema de Residuos del análisis complejo, pero no tengo ni idea de dónde comenzar ...

Answer 1

Uno puede escribir $$ \ frac {e ^ {ax} -e ^ {bx}} {(1 + e ^ {ax}) (1 + e ^ {bx})} = \ frac {(1 + e ^ { ax}) - (1 + e ^ {bx})} {(1 + e ^ {ax}) (1 + e ^ {bx})} = \ frac 1 {1 + e ^ {bx}} - \ frac 1 {1 + e ^ {ax}}$$ then, by the change of variable $ u = e ^ {ax}$, $ x = \ dfrac1a \: \ ln u$, $ dx = \ dfrac1a \: \ dfrac { du} u $, uno obtiene $$ \ int_0 ^ \ infty \ frac {dx} {1 + e ^ {ax}} = \ dfrac1a \ int_1 ^ \ infty \ frac {du} {u (1 + u)} = \ dfrac1a \ ln 2 $$ dando $$ \ int_0 ^ \ infty \ frac {e ^ {ax} -e ^ {bx}} {(1 + e ^ {ax}) (1 + e ^ {bx})} dx = \ left (\ frac1b- \ dfrac1a \ right) \ cdot \ ln 2 = \ frac {ab} {ab} \ cdot \ ln 2. $$