¿Por qué no coinciden la transformada de Fourier y Laplace transforma de la función paso de Heaviside (unidad)?

Question

La transformada de Fourier de la función escalón unitario $u(t)$ es $\dfrac{1}{iω} + π δ(ω)$.
La transformada de Laplace de la misma función es $\dfrac{1}{s}$.

Recuerdo que la prueba llegó a partir de derivados y signums, y estoy que no interesado en la prueba.
Más bien, quiero entender por qué ellos debe ser diferente, un poco más, digamos, de forma intuitiva.

Quiero decir, la transformada de Laplace de $x(t)$ es sólo $$\mathcal{L}(x)(s) = \int_{-∞}^∞ e^{-st}x(t)\,dt$$ mientras que la transformada de Fourier de $x(t)$ es sólo $$\mathcal{F}(x)(ω) = \int_{-∞}^∞ e^{-iωt}x(t)\,dt$$ así que es bastante obvio que sólo se diferencian por el ficticio nombre de la variable. Así que si sustituimos $s = iω$, entonces se debe llegar a ser la misma... y sin embargo el resultado de la transformada de Fourier contiene un extra delta de Dirac.

Podría alguien por favor explique por qué hay una discrepancia de más o menos de forma intuitiva (en lugar de sólo presentar otra prueba matemática)?

Answer 1

En realidad coinciden en el sentido de que la transformada de Laplace proporciona una continuación analítica de la transformada de Fourier resultado en el plano complejo. Buscar en los límites de las partes real e imaginaria de

$\frac{1}{s}=\frac{s^{*}}{|s|^2}=\frac{\sigma-i\omega}{\sigma^2+\omega^2}$

como la parte real de la $s$ tiende a $0$. No hay ninguna discrepancia; usted está buscando en un uno-dimensional rebanada de dos dimensiones de la función (los hombres ciegos y el elefante alegoría).

Sugerencias: Mira MSE-122220 y MSE-73922. También piensa en el contorno de Cauchy de la integral de $f(z)/z$ con el contorno de ser un rectángulo sobre el origen que poco a poco y de forma simétrica se extiende hasta el infinito en longitud y se derrumba en la altura de la línea real. Información adicional disponible en el Wiki en el principio de Cauchy valor y el núcleo de Poisson representante de la naciente función delta.

PS: El bilateral de la transformada de Laplace es igual a la unilateral de la transformada de Laplace cuando actúa en H(t)f(t) donde H(t) es la función escalón unitario. En este caso, dejando $s= \sigma+i\omega$ muestra claramente que la transformada de Laplace proporciona una continuación analítica, en general, de los PIES resultado en el plano complejo para $\sigma>0$.

Answer 2

Integral definición de $\mathcal{L}(x)$ converge para todos los $s>0$ (o, más generalmente, para todos los $s\in\mathbb{C}$ con $\operatorname{Re}(s)>0$.) Sin embargo, la integral define $\mathcal{F}(x)$ no converge para cualquier $\omega\in\mathbb{R}$. Como indica n los comentarios, $\mathcal{F}(x)$ no es una función, sino una distribución; se define no como un integral, pero a través de un proceso diferente (dualidad).

Otra manera de ver esto, es que el $\mathcal{L}(x)(i\,\omega)$ no está definido para cualquier $\omega\in\mathbb{R}$.