Cortando un círculo para hacer un cuadrado

Question

Sabemos que no hay una solución de papel y tijeras para el problema de Tarski de cuadratura de círculo (mi hija de seis años me lo dijo un día mientras comíamos) pero ¿cuáles son las aproximaciones más cercanas, si no permitimos la superposición?

Más precisamente: Para N piezas que juntas caben dentro de un círculo de área unitaria y un cuadrado de área unitaria sin superposición, ¿cuál es el área máxima que se puede cubrir?

N=1 parece obvio: (90.9454%)

Un posible ganador para N=3: (95%)

Parece probable que con, digamos, N=10 podríamos acercarnos mucho, pero nunca he visto ningún ejemplo, y dudo que mi ejemplo de N=3 anterior sea incluso el óptimo. (Edit: ¡No lo es!) Y no tengo idea de cómo se vería la solución para N=2.

Esta página discute algunas formas curvadas que pueden dividirse en cuadrados. Hay una prueba simple y agradable aquí de que no hay solución de papel y tijeras para el círculo y el cuadrado.

Answer 1

No es realmente una respuesta, pero hay algunas disquisiciones fantásticas en esta página, que incluyen estas dos:

Disecando un octágono en un cuadrado con cinco piezas:

Disecando un dodecágono en un cuadrado con seis piezas:

Parece probable que estos podrían ser convertidos en aproximaciones bastante buenas de una disquisición de cuadrado-círculo para N=5 y N=6.

Editar: De hecho, con N=6 podemos obtener una cobertura del 97.18% de esta manera:

(un dodecágono inscrito tendría un área del 95.49%)

Edición posterior: Resulta que con N=6 podemos hacer mucho mejor. ¡98.80%:

Estas soluciones fueron encontradas con una aplicación web que he hecho:
https://github.com/timhutton/circle-squaring

¡Por favor inténtalo y envía las mejores soluciones que encuentres! La tabla de clasificación a la derecha muestra las soluciones mejor conocidas actualmente para N=1 a N=10.

Answer 2

Bueno, aquí hay una familia infinita específica de congruencias de tijeras entre grandes porciones del círculo y grandes porciones del cuadrado. No afirmo que estas sean cercanas a ser óptimas.

Empezamos inscribiendo un $n$-gon regular en el círculo. Luego cortamos el $n$-gon en $2n$ triángulos, y los reorganizamos de la siguiente manera:

Los $2n$ triángulos siempre caben en un rectángulo cuyo ancho es la mitad de la circunferencia del círculo (es decir, $\sqrt{\pi}$), y cuya altura es el radio del círculo (es decir, $1/\sqrt{\pi}$). Este rectángulo se puede cortar en tres piezas que se pueden reorganizar para formar un cuadrado unitario:

Componer estas dos congruencias de tijeras da como resultado la familia infinita deseada. Es importante tener en cuenta que tal vez tengamos que cortar cada uno de los $2n$ triángulos en hasta $3$ piezas para componer con la segunda congruencia de tijeras, por lo que se utilizan como máximo $6n$ piezas. (En realidad, se usan ligeramente menos piezas que estas, ya que los triángulos en la parte izquierda del rectángulo no necesitarán ser cortados.)

La porción del área utilizada es el área del $n$-gon: $$ \text{Área} \;=\; \frac{n}{\pi} \cos(\pi/n) \sin(\pi/n) \;\approx\; 1 - \frac{\pi^2}{2n^2} $$ Por lo tanto, el área restante puede disminuir cuadráticamente con el número de piezas.

Answer 3

Ok, no es mi mejor trabajo, pero aquí hay una sugerencia en 2 partes:

Answer 4

Creo que he encontrado el método óptimo para n=6 y n≥10.

Anteriormente has mencionado que un dodecágono inscrito proporciona una cobertura del 95,49%, lo cual demuestras que no es la mejor respuesta. Estabas en el camino correcto, pero un mejor enfoque es superponer el círculo con un dodecágono de igual área, y luego dividirlo en sus clásicas 6 piezas. Estas pueden ser reorganizadas en un cuadrado de igual área con una cobertura de ~99.108%, que a menos que el programa informático enlazado redondee incorrectamente, es mejor que la mejor respuesta lograda por ese programa hasta ahora. Puedes encontrar imágenes y discusiones de las mejores respuestas para otros números de piezas aquí: https://i.sstatic.net/7PKBt.jpg.

Lo que he encontrado sugiere que posiblemente lo mejor que se puede obtener con n=10 es del 99.347%, que como predijiste, es muy cercano en efecto.