Intervalo de confianza para una proporción cuando la proporción de la muestra es casi 1 o 0

Question

Sé que hay métodos para calcular un intervalo de confianza para una proporción para mantener los límites dentro de (0, 1), sin embargo, una rápida búsqueda en Google me llevó sólo al cálculo estándar: $\hat{p} \pm 1.96*\sqrt\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{N}$ . También creo que hay una forma de calcular el intervalo de confianza exacto utilizando la distribución binomial (un código R de ejemplo estaría bien). Sé que puedo utilizar la función prop.test para obtener el intervalo, pero estoy interesado en trabajar a través del cálculo.

Situaciones de la muestra (N = número de ensayos, x = número de éxitos):

N=40, x=40
N=40, x=39
N=20, x=0
N=20, x=1

Answer 1

Hay muchos intervalos de confianza para proporciones simples y la mayoría de ellos tienen un rendimiento pobre para $p$ cerca de 0 o 1. El intervalo "exacto" de Clopper-Pearson mencionado anteriormente es muy conservador en esa configuración, lo que significa que la cobertura real del intervalo puede ser bastante mayor que la nominal $1-\alpha$ .

Un intervalo que tiene un rendimiento bastante bueno para $p$ cercano a 0 o 1 es en realidad el intervalo creíble bayesiano utilizando la prioridad de Jeffreys. Véase, por ejemplo este documento de Brown, Cai y DasGupta (2002). Es sencillo de calcular en R:

qbeta(c(alpha/2,1-alpha/2),x+0.5,n-x+0.5)

No importa que sea bayesiano por naturaleza: se ha demostrado una y otra vez que tiene buenas frecuentista ¡rendimiento!

(Aunque el intervalo bayesiano de Jeffreys suele recomendarse en este contexto, es posible construir intervalos que proporcionen simultáneamente una mayor confianza y una menor longitud esperada para pequeños $p$ ; ver un reciente manuscrito de la mía).

Answer 2

Este es un hecho estándar, que creo que se demuestra en todos los libros de álgebra abstracta. Aquí está la prueba, dada en el libro de Herstein. Ver Corolario 2 .

Corolario 1: Si $G$ es un grupo finito, y $a \in G$ entonces $o(a) \mid o(G)$ .

Prueba. Consideremos el subgrupo cíclico generado por $a$ , que consiste en $a,a^{2},a^{3},\cdots,$ . Desde $a^{o(a)}=e$ Por lo tanto, este subgrupo tiene como máximo $o(a)$ elementos. Si tiene menos elementos, entonces $a^{i}=a^{j}$ para algunos números enteros $0 \leq i < j < o(a)$ . Entonces $a^{j-i}=e$ Sin embargo $0< j-i < o(a)$ lo que contradice el significado de $o(a)$ . Así, el subgrupo cíclico generado por $a$ tiene $o(a)$ elementos, y por lo tanto por el teorema de Lagrange $o(a) \mid o(G)$ .

Corolario 2: Si $G$ es un grupo finito y $a \in G$ entonces $a^{o(G)}=e$ .

Prueba. Por Corolario 1 tenemos $o(a) \mid o(G)$ lo que implica $o(G)=k \cdot o(a)$ Por lo tanto $a^{o(G)}=a^{k \cdot o(a)} = (a^{o(a)})^{k} = e^{k}=e$ .

Answer 3

Clopper-Pearson es un método binomial exacto y se puede utilizar para obtener intervalos de confianza para p incluso cuando el número de aciertos es 0 de N o N de N. en el primer caso dará un intervalo de 0 a A donde A depende de N y alfa y de B a 1 en el segundo caso.

Answer 4

¿Por qué no hacerlo de forma bayesiana?

Es decir, establecer una prioridad distribuida beta, y elegir algún intervalo cuya integral sea tan grande como se quiera (trabajando a partir de la moda, por ejemplo).