Simetría del Hamiltoniano de Bloch

Question

Si un sistema cristalino conserva una simetría C, por qué su Hamiltoniano de Bloch satisface

$H(C\vec k)=CH(\vec k)C^{-1} $

Answer 1

Que un hamiltoniano conserve una simetría significa $$ [H, C] = 0 \Rightarrow CHC^\dagger = CHC^{-1} = H$$ Para un operador de simetría unitaria $C$ (o antiunitario si se trata de la inversión del tiempo).

El Hamiltoniano de un sistema cristalino de materia condensada escrito en términos de la matriz de Bloch es: $$ H = \sum_{\vec k} \psi^\dagger(\vec k) H(\vec k) \psi(\vec k) $$ Dónde $$\psi(\vec k) = \begin{pmatrix} \vdots \\ c_i(\vec k) \\ \vdots \end{pmatrix}.$$ Y $c_i(\vec k)$ son los aniquiladores para los electrones en $\vec k$ en el estado $i$ (que es un índice combinado de espín y banda). Como $C$ se aplica a $\vec k$ debe ser una simetría espacial (es decir, una simetría de red).

La transformación de $\psi(\vec k)$ en $C$ se obtiene fácilmente por medio de argumentos. $C$ es una transformación espacial, por lo que $C\psi(\vec k)C^{-1}$ hace lo siguiente:

1. las coordenadas se transforman.
2. una partícula con momento $\vec k$ se destruye en las nuevas coordenadas.
3. la rotación del espacio se deshace dejando una partícula con momento $C \vec k$ destruido en las coordenadas originales.

En efecto, esto significa que $C\psi(\vec k)C^{-1} = \psi(C\vec k)$ .

Utilizando los resultados anteriores: $$ H = CHC^{-1} = \sum_{\vec k} C\psi^\dagger(\vec k)C^{-1}C H(\vec k) C^{-1}C \psi(\vec k)C^{-1}. $$ Como $C\psi(\vec k)C^{-1} = \psi(C\vec k)$ , $C H(\vec k) C^{-1} = H(C\vec k)$ debe mantenerse, para asegurar la igualdad a $H$ (que luego se muestra reetiquetando la variable de la suma $\vec k' = C\vec k$ ).