¿Por qué sólo hay $3$ subgrupos de orden $8$ en el grupo cuasidédrico $QD_{16}$ de orden $16$ ? (No estoy interesado en dibujar el entramado de los subgrupos, sino más bien un argumento convincente de que sólo puede haber $3$ subgrupos de orden $8$ ).
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Recuerde que $QD_{16}$ está dada por la presentación $$ \big\langle r,s \;\bigr|\; r^8=s^2=1,sr=r^3s \big\rangle. $$ Cualquier subgrupo de orden $8$ debe ser normal (tener un índice dos), por lo que cada uno es el núcleo de algún epimorfismo $QD_{16}\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ . Pero sólo hay tres epimorfismos de este tipo, a saber $$ (r,s) \mapsto (1,0),\qquad (r,s)\mapsto (0,1),\qquad\text{and}\qquad (r,s)\mapsto (1,1). $$ El mismo argumento muestra que cualquier grupo con $k$ generadores tiene como máximo $2^k-1$ subgrupos del índice dos.