encontrar matriz que esta suma es el máximo

Question

Hola
Suponga que$n$ es un cierto número natural y$\{b_i\}_{i=0,..,n-1}$ es una cierta matriz de números reales positivos, encuentre matriz$\{a_i\}_{i=0,..,n-1}$ de números reales positivos tales que$\sum_{i=0}^{n-1} a_i = 1$ y$\sum_{i=0}^{n-1} \sqrt {a_i b_i}$ es el máximo valor posible.
Creo que es el máximo cuando todas las proporciones$\frac{a_i}{b_i}$ son iguales. Pero necesito asegurarme.

Answer 1

Su conjetura es correcta (término clave: Desigualdad de Cauchy-Schwarz).

Answer 2

Tienes razón: por la desigualdad de Cauchy-Schwarz ,$\sum\sqrt{a_ib_i}\leq\sqrt{\sum a_i}\sqrt{\sum b_i}$, con igualdad iff$a_i=\lambda b_i$ por algún positivo$\lambda$.

edit: uy , pensé que estabas buscando el máximo. El mínimo es cuando todos$a_i$ 's son$0$, excepto el$i$ donde$b_i$ es mínimo (por lo tanto,$a_i=1$).