Fórmula para encontrar C mármoles diferentes de D sorteos totales

Question

Dicen que dibujar $D$ canicas de una bolsa (con infinita canicas), donde cada uno de mármol podría ser un color de $C$ colores (cada uno con la misma probabilidad). ¿Cuál es el valor esperado del número de diferentes colores de nuestro consumo total incluye?

Así, por ejemplo, si $D=4$$C=3$, estamos dibujando $4$ total de canicas, donde cada uno podría ser rojo, verde o azul con la misma probabilidad. ¿Cuál es el número promedio de diferentes colores representados en nuestro sorteo (en cualquier lugar de $1$$3$) podemos esperar?

Después de jugar un rato, se me ocurrió la siguiente manera de expresarlo:

$$E[C;D] = \frac{1}{C^D} \big[ (1)(C) + (2)(\text{number of arrangements of two different colors}) + ... + (C)(\text{number of arrangements of $C$ different colors}) \big]$$

Y después de la prueba con algunos números bajos, se me ocurrió la siguiente fórmula:

$$E[C;D] = C - \frac{(C-1)^{D}}{C^{D-1}}$$

Funciona para los números que he probado, y también hace sentido intuitivo desde $\lim_{D \rightarrow \infty}E[C;D] = C$.

Pero tengo la curiosidad de saber: Es esta fórmula correcta? Si es así, ¿cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Para$j=1,\ldots,C$, deja

$$ I_j = \begin{cases} 1 & \text{if color %#%#% is drawn at least once} \\ 0 & \text{if color %#%#% is never drawn} \\ \end {cases} $$

Luego buscamos$j$ por linealidad de expectativa.

Para cualquier$j$ tenemos:

\begin{eqnarray*} E(I_j) &=& P(\text{Color %#%#% drawn at least once}) \\ &=& 1-P(\text{Color %#%#% never drawn}) \\ &=& 1-\left(\dfrac{C-1}{C}\right)^D. \end {eqnarray *}

Entonces, nuestro valor requerido es$E\left(\sum_{j=1}^C{I_j}\right) = \sum_{j=1}^C{E\left(I_j\right)}$ $