Antes he estado a mi pregunta, me permitió dar el set-up / "lo que sé".
Deje $F / K$ ser una extensión de los campos de número de grado $n$. Deje $v$ a (discreta) de la valoración en $K$ y dejar $$ \mathfrak{O}_{v} = \{ \alpha \in K : v(\alpha) \geq 0 \} $$ ser la valoración anillo de $v$. Hasta associates, $\mathfrak{O}_{v}$ tiene un único elemento irreductible $p$$v(p) = 1$.
Deje $v_1, \ldots, v_m$ ser las extensiones de $v$ para el campo $F$, vamos $$ \mathfrak{O}_{v_i} = \{ \alpha \in F : v_i(\alpha) \geq 0 \} $$ ser la valoración del anillo de $v_i$ $(i = 1, \ldots, m)$, y deje $\pi_i$ ser el único (hasta associates) irreductible elemento de $\mathfrak{O}_{v_i}$ $(i = 1, \ldots, m)$. Entonces la integral de cierre de $\mathfrak{O}_{v}$ $F$ es $$ \overline{\mathfrak{O}}_{v} = \carpeta cap_{i=1}^{m} \mathfrak{O}_{v_i}, $$ los elementos $\pi_1, \ldots, p_m$ constituyen la totalidad de los nonassociate irreducibles en $\overline{\mathfrak{O}}_{v}$, e $p$ factores $\overline{\mathfrak{O}}_{v}$ $$ p = \epsilon \pi_{1}^{e_1} \cdots \pi_{m}^{e_m} $$ donde $\epsilon$ es una unidad de $\overline{\mathfrak{O}}_{v}$, y donde $e_i$ es el índice de ramificación de $v_i$ con respecto al $v$ (es decir, $e_i$ es el entero positivo tal que $v(\alpha) = v_i(\alpha)/e_i$ todos los $\alpha \in K^{\times}$, es decir, $e_i = v_i(p)$).
El residuo de campo de la clase de $v$$\Sigma_{v} = \mathfrak{O}_v / m_v$, donde $$ m_v = (p) = \{ \alpha \in K : v(\alpha) > 0 \} $$ es el único ideal maximal de a $\mathfrak{O}_v$. Del mismo modo, el residuo de campo de la clase de $v_i$$\Sigma_{v_i} = \mathfrak{O}_{v_i} / m_{v_i}$, donde $$ m_{v_i} = (\pi_i) = \{ \alpha \in F : v_i(\alpha) > 0 \} $$ es el único ideal maximal de a $\mathfrak{O}_{v_i}$. El residual de grado de $v_i$ $v$ $f_i = [ \Sigma_{v_i} : \Sigma_{v} ]$
La siguiente fórmula relacionados con la ramificación de los índices de $e_i$, el residual grados $f_i$, el número de $m$ de las extensiones de $v$$F$, y el grado $n$ $F / K$ mantiene: $$ \sum_{i=1}^{m} e_i f_i = n $$
Ahora la pregunta: Supongamos que el $p$ factores $\overline{\mathfrak{O}}_{v}$ $$ p = \epsilon \pi^n $$ donde $\epsilon$ es la unidad en $\overline{\mathfrak{O}}_{v}$ $\pi$ es un elemento irreductible en $\overline{\mathfrak{O}}_{v}$.
Parte 1: quiero mostrar que la $F = K(\pi)$ (es decir, $\pi$ es un elemento primitivo de $F/K$). Para ello, basta para demostrar que el polinomio mínimo de a$\pi$$K$, $$ \phi(X) = X^k + a_{k-1}X^{k-1} + \cdots + a_0 \qquad (a_i \in K), $$ tiene el grado $n$. Por supuesto, $k \leq n$.
Alex Bartel ha ofrecido una solución a continuación, pero no entiendo algunos de los detalles. Aquí está mi comprensión de su argumento. Por definición, $$ 0 = \phi(\pi) = \pi^k + a_{k-1}\pi^{k-1} + \cdots + a_0 $$ A la izquierda, para cada $i$, $v_i(\phi(\pi)) = v_i(0) = \infty$. En el derecho, $v_i(\pi^k) = k$, $v_i(a_{j}\pi^{j}) = v_i(a_{j}) + j = nv(a_j) + j$ para $j=0, \ldots, k-1$, y así $$ v_i(\phi(\pi)) \geq \min(v_i(\pi^k), v_i(a_{j}\pi^{j})) = \min(k, nv(a_j) + j) $$ donde $j$ rangos de$0$$k-1$. Si $k \neq nv(a_j) + j \neq nv(a_l) + l$ todos los $j \neq l$, entonces la igualdad se mantiene en el último muestra la ecuación, lo que contradice que el lado izquierdo es infinito. Alex afirma que $k \neq nv(a_j) + j \neq nv(a_l) + l$ todos los $j \neq l$ mantiene si $k < n$, lo $k < n$ es imposible. Yo no entiendo por qué esta afirmación debe ser verdad
Parte 2: también quiero mostrar que el polinomio mínimo de a$\pi$$K$, $$ \phi(X) = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_0 \qquad (a_i \in K), $$ es de Eisenstein con respecto a $v$ (es decir, $v(a_{i}) > 0$ $i = 1, \ldots, n-1$ $v(a_0) = 1$ [creo que esto es lo que Eisenstein con respecto a $v$]).
Basado en la fórmula $\sum_{i=1}^{m} e_i f_i = n$, sé que $v$ tiene sólo una extensión para $F$, $v_1$, con $e_1 = n$, $f_1 = 1$, y irreductible elemento $\pi_1 = \pi$. Por lo $\pi$ es el único elemento irreductible de $\overline{\mathfrak{O}}_{v}$ y cada elemento distinto de cero $\alpha$ $\overline{\mathfrak{O}}_{v}$ factores como $$ \alpha = \epsilon \pi^{a} $$ para algunos la unidad de $\epsilon$ $\overline{\mathfrak{O}}_{v}$ y algunos $a \geq 0$. Puesto que el cociente campo de $\overline{\mathfrak{O}}_{v}$$F$, cualquier valor distinto de cero $\alpha$ $F$ puede ser expresada como la de arriba, si nos permitir $a$ a gama a través de los números enteros.
Que es donde estoy atascado.
Me gustaría resolver este problema en el lenguaje de las valoraciones como estoy estudiando desde Borevich y Shafarevich, y este es el lenguaje que utilizan.
Agradecería un poco de ayuda con esto.
