Encontrar el más pequeño de α∈R tal que, para todos los x,y,z∈R, la siguiente desigualdad se cumple α(x2−x+1)(y2−y+1)(z2−z+1)≥(xyz)2+|xyz|+1.
Esta pregunta está inspirada en este hilo. De acuerdo a este enlace relacionado, es suficiente para suponer que x, y, y z son positivos. Mathematica indica que α=3 es el valor más bajo posible, donde la única igualdad caso es x=y=z=1. Estoy buscando una buena solución.
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wujj123456
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Aquí está mi fuerza bruta intento. Sólo tenemos que mostrar que α=3 obras. Puede ser visto fácilmente, utilizando la Desigualdad de Jensen y la convexidad de t↦ln(exp(2t)−exp(t)+1)t∈[ln(2−√3),ln(2+√3)], que (x2−x+1)(y2−y+1)(z2−z+1)≥((3√xyz)2−3√xyz+1)3 siempre que 2−√3≤x,y,z≤2+√3. Por lo tanto, puede ser vale la pena primer justificar que 3((3√xyz)2−3√xyz+1)3≥(xyz)2+xyz+1, si 2−√3≤x,y,z≤2+√3. En otras palabras, se puede demostrar simplemente que 3(t2−t+1)3≥t6+t3+1 para todos los números reales t.
Tal vez, los casos en los que x, y, o z no está en el intervalo de [2−√3,2+√3] puede ser manejado por separado. De hecho, Mathematica, se comprueba que, si 0≤x≤13 (teniendo en cuenta que 13>2−√3), luego 3(x2−x+1)(y2−y+1)(z2−z+1)≥73(y2−y+1)(z2−z+1)>(yz3)2+(yz3)+1≥(xyz)2+xyz+1,\etiqueta2 para todos los y,z≥0. Del mismo modo, si x≥3 (teniendo en cuenta que 3<2+√3), luego de Mathematica también dice que 3(x2−x+1)(y2−y+1)(z2−z+1)≥73x2(y2−y+1)(z2−z+1)>x2((yz)2+(yz3)+(13)2)≥(xyz)2+xyz+1,\etiqueta3 para todos los y,z≥0. Por lo tanto, puede ser más sencillo de abordar (1), (2) y (3) por separado.
Me acaba de enterarse de que (1) se sigue de 3(t2−t+1)3−(t6+t3+1)=(t−1)4(2t2−t+2)≥0 para todos los t∈R. Ahora estamos a la izquierda con las dos desigualdades 73(y2−y+1)(z2−z+1)>(yz3)2+(yz3)+1 y 73(y2−y+1)(z2−z+1)>(yz)2+(yz3)+(13)2 para todos los y,z≥0 (en realidad, debería ser cierto para todos los y,z∈R). Si estas dos desigualdades espera, entonces la prueba es completa y, de hecho, hay sólo una igualdad de caso-el caso de x=y=z=1.
Voy a probar ahora que 73(y2−y+1)(z2−z+1)≥(yz)2+(yz3)+1, para que la única igualdad caso es y=z=1. El discriminante con respecto a y del polinomio 7(y2−y+1)(z2−z+1)−3(yz)2−yz−3=(4z2−7z+7)y2−(7z2−6z+7)y+(7z2−7z+6) es (7z2−6z+7)2−4(4z2−7z+7)(7z2−7z+6)=−7(z−1)2(9z2−14z+9)≥0 para todos los z∈R. Desde 4z2−7z+7>0 todos los z∈R, se garantiza que 7(y2−y+1)(z2−z+1)−3(yz)2−yz−3≥0,, y que la demanda de la siguiente manera. Es decir, 73(y2−y+1)(z2−z+1)≥(yz)2+(yz3)+1>(yz)2+(yz3)+(13)2 y, desde la igualdad caso de (*) satisface yz≠0, la desigualdad 73(y2−y+1)(z2−z+1)≥(yz)2+(yz3)+1≥(yz3)2+(yz3)+1 sostiene sin una igualdad caso.
