¿Es un espacio de Hausdorff totalmente desconectado, contable necesariamente totalmente separado? ¿Qué dimensiones de cero?

Question

Estoy empezando a sentir un poco mal sobre el uso de este sitio web como mi propia contraejemplo generador, pero aquí voy de nuevo...

Terminología:

Vamos a llamar a un espacio cero-dimensional si es $T_0$ y admite una base de clopen conjuntos. Por un estándar de la incrustación de argumento, un espacio es cero-dimensional si y sólo si es homeomórficos a un subespacio de algunos (posiblemente incontables) el poder de los dos puntos de un espacio diferenciado de $\{0,1\}$. En particular, cero-dimensional implica Hausdorff, o incluso completamente regular.

Vamos a llamar a un espacio de $X$ totalmente separados si, dada distintos puntos de $x,y \in X$, existe una separación de $U,V$ $X$ (es decir. $U,V$ partición $X$ y están abiertos) tal que $x \in U$$y \in V$. En particular, totalmente separados del espacio es Hausdorff. Claramente cero-dimensional implica totalmente separados.

Por último, vamos a llamar a un espacio totalmente desconectado si todos sus componentes conectados son los únicos. Claramente totalmente separados implica totalmente desconectados (por el contrario, totalmente desconectada necesidad ni siquiera implica Hausdorff).

Mi pregunta:

Deje $X$ ser una contables, totalmente desconectada espacio de Hausdorff. Puede $X$ no estar totalmente separado? Si sí, puede $X$ menos de ser cero-dimensional?

Algunos de discusión:

Si reemplazamos "contable" con "compacto, la respuesta a ambas preguntas es "no". Para un compacto Hausdorff espacio, los componentes y quasicomponents coinciden, por lo $X$ está totalmente separado. Luego, mediante la aplicación básica de la compacidad de los argumentos, podemos demostrar incluso que para todos los $A,B \subset X$, conjuntos cerrados disjuntos, hay una separación de $U,V$$X$$A \subset U, B \subset V$. En particular, $X$ es cero-dimensional. La hipótesis de la compacidad no se puede quitar, aunque. Por ejemplo, el Cantor de fugas tienda de campaña es un (noncompact, noncountable) el subespacio del plano Euclidiano que puede ser mostrado, con un poco de esfuerzo, estar totalmente desconectado, pero no totalmente separados. Desde la hipótesis de la compacidad no se puede quitar, me preguntaba si podría ser reemplazado con algo más. En particular, me preguntaba si contables iba a hacer.

Agregó: he Aquí otro contraejemplo. La idea principal es la misma que en la de Brian ejemplo, pero creo que este espacio parecía en cierto modo más concreto.

Como un conjunto, vamos a $X := \mathbb{Q} \cup \{p_0,p_1\}$ donde $p_0,p_1$ son dos puntos distintos no en $\mathbb{Q}$. Para $n=0,1,2,\ldots$, vamos a $I_n := (n,n+1) \cap \mathbb{Q}$. Ponemos a $U \subset X$ abierto si y sólo si los siguientes son satisfechos:

1. $U \cap \mathbb{Q}$ es abierto en la topología estándar en $\mathbb{Q}$.
2. Si $p_0 \in U$, $U$ contiene un número finito de $I_0,I_2,I_4,\ldots$
3. Si $p_1 \in U$, $U$ contiene un número finito de $I_1,I_3,I_5,\ldots$

Es fácil ver esta topología es Hausdorff. A ver es totalmente desconectada, supongamos que $C \subset X$ está conectado con más de un punto. Intervalos con extremos irracionales son todavía clopen, y estos pueden ser utilizados para separar un fijo número racional desde cualquier otro punto en $X$. De ello se desprende que $C$ no contiene racionales. Por lo tanto $C = \{p_0,q_0\}$, pero este espacio es discreto ($X$ es Hausdorff), así que no hay tal $C$ existe. Sin embargo, $X$ no es totalmente separados. Los barrios de $p_0$ $q_0$ no puede tener distintos cierres.

Answer 1

Algunos vigorosa google presentó un documento que contiene un ejemplo de una contables, totalmente desconectada Hausdorff espacio que no es regular (por lo tanto no es cero-dimensional). Se utiliza el ejemplo para demostrar algo más grande, así que tengo la sensación de que hay un montón de espacio para simplificar la construcción que describiré a continuación.

Como un conjunto, tomamos $X$ a ser distinto de la unión de countably muchas copias de $\mathbb{N}$ (que aprovecho para incluir a $0$), un distinguido copia de $\mathbb{N}$, y una visión idealizada punto de $p$. Así, $$ X = (\mathbb{N}_0 \cup \mathbb{N}_1 \cup \mathbb{N}_2 \ldots ) \cup \mathbb{N} \cup \{p\}.$$ Ahora a topologize $X$. Para esto, tendremos que solucionar un nonprincipal ultrafilter $\mathscr{P} \subset 2^\mathbb{N}$. Para cada una de las $i$, vamos a $\mathscr{P}_i$ denotar la copia correspondiente de $\mathscr{P}$.

• Cada punto en cada una de las $\mathbb{N}_i$ es aislado.
• Los barrios de $i \in \mathbb{N}$ son los conjuntos que contienen $\{i\} \cup P_i$ algunos $P_i \in \mathscr{P}_i$.
• Los barrios de $p$ son los conjuntos que $\{p\} \cup \bigcup_{i \in P} \mathbb{N}_i$ algunos $P \in \mathscr{P}$.

Es claro que el abrir los conjuntos definidos son cerrados bajo los sindicatos. Para demostrar que la intersección de los dos barrios algunos $i \in \mathbb{N}$ o de dos barrios de $p$ es todavía un barrio, uno sólo necesita que los filtros cerrado bajo intersecciones finitas.

La topología que se obtiene es Hausdorff. Por ejemplo, podemos separar $i \in \mathbb{N}$ $x \in \mathbb{N}_i$ porque $\mathscr{P}_i$ es nonprincipal así que hay un $U_i \in \mathscr{P}_i$ $x \notin U_i$ $\{x\}$ $\{i\} \cup U_i$ son las deseadas distintos barrios.

La topología que se obtiene es totalmente desconectados. Conectado a un subconjunto $C$ $X$ con 2 o más puntos, no puede contener cualquiera de los puntos de la $\mathbb{N}_i$ desde estos puntos están abiertos en $X$. Por lo tanto $C$ es un subespacio de $Y := \mathbb{N} \cup \{p\}$. Sin embargo, cada punto de $\mathbb{N}$ está abierto en $Y$, por lo que ninguno de estos puntos puede ser en $C$ $C = \{p\}$ (contradicción).

Finalmente, la topología de la que obtenemos no es regular porque no podemos separar $p$ desde el conjunto cerrado $\mathbb{N}$.

Answer 2

Deje $X=(\omega\times\mathbb{Z})\cup\{p^-,p^+\}$ donde $p^-$ $p^+$ son distintos puntos que no están en $\omega\times\mathbb{Z}$. Deje $Z_0=\mathbb{Z}\setminus\{0\}$. Puntos de $\omega\times Z_0$ son aislados. Para cada una de las $n\in\omega$ y finito $F\subseteq Z_0$ vamos $$B(n,F)=\{n\}\times(Z_0\setminus F)\;,$$ and take $\{B(n,F):F\subseteq Z_0\text{ es finito}\}$ as a local base at $\langle n,0\rangle$. For $n\in\omega$ let $$B^+(n)=\{p^+\}\cup\{\langle i,k\rangle\in\omega\times Z_0:i>n\land k>0\}$$ and $$B^-(n)=\{p^-\}\cup\{\langle i,k\rangle\in\omega\times Z_0:i>n\land k<0\},$$ and take $\{B^+(n):n\in\omega\}$ and $\{B^-(n):n\in\omega\}$ as local bases at $p^+$ and $p^-$, respectivamente.

Es fácil comprobar que $X$ es Hausdorff y totalmente desconectado. Sin embargo, $p^-$ $p^+$ no han abierto nbhds con distintos cierres: para cualquier $n,m\in\omega$, $$\operatorname{cl}B^-(n)\cap\operatorname{cl}B^+(m)\supseteq\big\{\langle k,0\rangle:k>\max\{n,m\}\big\}\;.$$ It follows immediately that $X$ es ni totalmente separados ni cero-dimensional.

Answer 3

En Steen y Seebach, contraejemplos en topología, p. 99, que prueban que la Arens Plaza es también un ejemplo de un espacio de Hausdorff totalmente desconectado, contable que no es ni totalmente separados ni cero dimensional. Puedo publicar algunos detalles si nadie tiene la referencia en la mano.