No entiendo por qué representamos las funciones$f:I \subseteq \Bbb R \to \Bbb R^2$ de la manera en que lo hacemos.

Question

No entiendo por qué nos representan funciones $f:I \subseteq \Bbb R \to \Bbb R^2$ forma de hacer: haciendo una analogía con la forma en que representan funciones de $\Bbb R$ $\Bbb R$o de $\Bbb R^2 \to \Bbb R$, mi impresión sería representar funciones como $f$ el formato: $$(t,f_1(t),f_2(t))$$

Pero en lugar de eso nos agarra todos los puntos de $(f_1(t),f_2(t))$, es decir, la imagen de $f$ y dibujamos que en $\Bbb R^2$, y llamamos a $f$ una parametrización.

Como ejemplo de esto, vamos a $f(t)=(\cos t, \sin t)$. Si representamos esta por el trazado de los puntos de $(t,\cos t, \sin t)$ le gustaría obtener una hélice. Pero en lugar de eso nos 'splash' que la hélice en la pared y tenemos la parametrización de un círculo.

Answer 1

No nos "representan" las funciones de $f:I \subseteq \Bbb R \to \Bbb R^2$$(f_1(t),f_2(t))$.

Las funciones de $f:I \subseteq \Bbb R \to \Bbb R^2$ son representados como $(t,f_1(t),f_2(t))$ (donde $t$ varía en algún subconjunto de la recta real) al igual que otros tipos de funciones.

$(f_1(t),f_2(t))$ (donde $t$ varía en algún subconjunto de la recta real) es el conjunto que se llama la imagen de la función $f$.

Imagen de una función es un concepto importante, pero "la imagen de una función" ($(f_1(t),f_2(t))$ sobre variación $t$) y "gráfica de una función" ($(t,f_1(t),f_2(t))$ sobre variación $t$) son dos conceptos diferentes. Usted sólo debe comprender que ambos de estos dos: una. de existir; b. son importantes; c. son diferentes.

Answer 2

Porque es una útil simplificación a veces. Explícito dependencia del tiempo es realmente aterrador, en realidad. Imagina que yo estoy viendo un sistema que no dependen explícitamente del tiempo (la tierra del campo gravitatorio no debe variar en base a la hora, por ejemplo). Pero estoy viendo una bola de viaje y su posición no depende del tiempo. Si la bola está en la posición $(x,y)$ tiempo $t_1$ y de nuevo en el tiempo de $t_2$ quiero decir que la pelota está en órbita.

Pero si me imagino que el de la bola de coordenadas como tener un componente de tiempo, el que nunca alcanzará el mismo punto dos veces. Que es $(t_1,x,y) \neq (t_2,x,y)$. Por lo que la pelota nunca realmente estar en órbita.

Esta idea está fuertemente reflejado en el campo de las ecuaciones diferenciales, donde los sistemas que no dependan explícitamente de tiempo son mucho mejores que entender que los que no. Cosas como la de poincaré-bendixon teorema (que son impresionantes) dependen en gran medida en la idea de las órbitas. "Si el balón da en el mismo punto dos veces su ruta de acceso debe ser periódica" es una crítica lema para el teorema.