Tanto el primer vídeo enlazado a la primera versión de la pregunta(v1), y la segundo enlace video en versiones posteriores de la pregunta, se trata de derivar Ecuaciones de Euler-Lagrange de el principio de la acción estacionaria .
1) Susskind no menciona el tiempo discretización en el primer vídeo. Tiempo $t$ es un parámetro real continuo a lo largo del vídeo, y la derivación es muy similar, por ejemplo, al capítulo 2 de Herbert Goldstein, Mecánica clásica.
2) Susskind utiliza efectivamente la discretización del tiempo en el nuevo vídeo. En muchos lugares de la física podemos aproximar un modelo continuo con un modelo discreto de red, donde las derivadas se sustituyen por diferencias finitas . Al final, dejamos que el espaciado de la red sea cero y recuperamos el modelo continuo. En el último capítulo de su libro, Goldstein habla de las transiciones entre modelos discretos y continuos. Esto puede ayudarte a tener una visión general. En física es útil entender tanto el enfoque discreto como el continuo. Cuando se hacen correctamente, deberían ser equivalentes, pero para ciertas aplicaciones un enfoque suele ser más conveniente que el otro. Intentaré hacer una futura actualización si encuentro una referencia exacta al argumento de discretización de Lenny.
