Tu pregunta es, en última instancia, sobre la escalada. El escalamiento se explora mejor con ecuaciones no dimensionales.
Veamos una ecuación de caída libre de una masa $m$ en la ausencia de fricción del aire: $$ m \frac {d^2 z}{dt^2} = - m g $$ Obviamente el tiempo de caída de una altura determinada dependerá de la gravedad $g$ . Pero tu pregunta es, ¿será lo mismo hasta un factor de escala en el tiempo? (Por supuesto, en este caso, fácilmente adivinarás que es el caso pero iremos a casos más complejos más tarde)
Se puede no dimensionar definiendo una altura característica $H$ y el tiempo $T$ . Diga $H$ será la altura del campo de visión de su cámara y $T$ el retraso entre dos fotogramas de tu película. Consigues (deshacerte también de $m$ ): $$ \frac {d^2 \tilde z}{d \tilde t^2} = - \frac {g T^2}{H} $$ Aquí, $ \frac {g T^2}{H}$ es un grupo no dimensional que caracteriza la relación entre la inercia y la fuerza de gravedad. Puedes ver fácilmente que, si duplicas $T$ cuando $g$ se divide por 4, se obtiene exactamente el mismo número: la película con $g/4$ con marcos cada $2T$ por lo tanto se verá exactamente igual que el de $g$ y enmarca cada $T$ .
Lo mismo ocurre con un flujo puramente viscoso, si no hay ninguna otra fuerza presente. En lugar de mirar el flujo en sí mismo, veamos una partícula pesada sedimentada en el fluido: su ecuación es $$ \frac {dz}{dt} = \frac {( \rho_p - \rho_f )gd^2}{18 \eta } $$ a la que se puede aplicar el mismo proceso no dimensional.
Ahora introduzcamos una segunda fuerza, por ejemplo, la fricción en la caída libre (o la inercia en la partícula sedimentadora anterior). Tienes 3 términos en la ecuación, como: $$ m \frac {d^2 z}{dt^2} = - c \frac {d z}{d t} - m g $$ Esto significa que construirás dos grupos no dimensionales: uno será $ \frac {c T}{m }$ y el otro $ \frac {g T^2}{H}$ . Esta vez, si $g$ está cambiado, no puedes sintonizar $T$ para mantener todo sin cambios ya que esto modificaría el otro grupo no dimensional. Sólo, si $c$ es tan pequeño que su efecto es insignificante para cualquiera de los dos $g$ o $g/4$ condiciones, entonces el efecto no será visible en su película y puede continuar sintonizando $T$ según $g$ sólo.
Para un flujo viscoso, muchas fuerzas además de las viscosas pueden entrar en juego. La inercia es una de ellas, pero si observamos un flujo de tamaño razonable de miel o brea, la inercia será muy baja en ambos casos.
Lo que en realidad puede ser más relevante son las fuerzas de superficie (tensión interfacial), que no variarán en proporción directa a la viscosidad. Pero se podría tratar de encontrar una especie de miel que tuviera la misma viscosidad a la tensión superficial que el brea, y preservar la escala!
