Definición de la extensión Galois.

Question

Permita que$L,K$ sean campos con$L/K$ una extensión de campo. Decimos que$L/K$ es una extensión de Galois si$L/K$ es normal y separable.

No entiendo completamente esta definición, ¿está diciendo que

1)$L$ tiene que ser el campo de división de algún polinomio en$K[x]$ y ese polinomio no debe tener raíces repetidas, o está diciendo que

2)$L$ tiene que ser el campo de división para todos los polinomios en$K[x]$ y todos los polinomios no deben tener raíces repetidas?

Answer 1

Podemos definir una extensión de Galois $L/K$ a ser una extensión de los campos que se

1. Normal: si $x\in L$ tiene un mínimo de polinomio $f(X) \in K[X]$, e $y$ es otra raíz de $f$,$y\in L$.
2. Separables: si $x\in L$ tiene un mínimo de polinomio $f(X) \in K[X]$, $f$ tiene claras raíces en su división de campo.

Al $L/K$ es una extensión finita, estas condiciones son equivalentes a$L$, siendo la división de campo de un polinomio separable $f(X) \in K[X]$ - es decir, su condición de $1$. Este es un hecho que está probado en cualquier curso de teoría de Galois. Véase, por ejemplo, el Teorema 3.10 en estas notas de la conferencia.

Su condición de $2$ es ciertamente falso: por ejemplo, $\mathbb Q(\sqrt2)/\mathbb Q$ es una extensión de Galois, pero no es la división de campo de la $X^5+3X+2$ o de cualquier otro (irreductible) polinomio distinto de $X^2-2$.

Answer 2

Una definición es una definición ! De todos modos, en líneas generales , es decir que $$Gal(L/K)=Aut_K(L)$$ y, por tanto, $Gal(L/K)$ es de hecho un grupo y que $|Gal(L/K)|=[L:K]$. De hecho, si es sólo separables, a continuación, $Gal(L/K)$ $Hom_K(L,K^{alg})$ lo que no es un grupo. Y si es normal, a continuación, $$|Aut_K(L)|=|Gal(L/K)|<[L:K].$$

Así que, finalmente, ya que queremos que $Gal(L/K)$ ser un grupo (es decir,$Gal(L/K)=Aut_K(L)$,) y que $$|Gal(L/K)|=[L:K],$$ tenemos que definen $L/K$ como separables y normales. Es gracias a las propiedades que la correspondencia entre el (completa) entramado de grupos y (completa) entramado de los campos de sentido.

Answer 3

Un separables algebraicas extensión de campo $L/K$ es uno en el que dado cualquier elemento $\alpha \in L$, el mínimo polinomio $m_{\alpha}(x) \in K[x]$ es separable (es decir, que tiene distintas raíces en algunos de extensión de $K$).

Para la mayor parte de los campos que habitualmente se encuentra, como$\Bbb Q, \Bbb R, \Bbb C$$\Bbb Z_p$, son separables (estos campos son perfectos campos, y cualquier extensión finita es separable).

De hecho, no es inmediatamente evidente que no hay ningún no-separables de los campos, por lo que este es el más comúnmente ejemplo dado:

Deje $K = \Bbb Z_2(t)$ (este es el campo de cocientes de la integral de dominio $\Bbb Z_2[t]$). Considere el polinomio $x^2 - t \in K[x]$, a los que podemos asignar la división de campo $L = K(\sqrt{t})$. $x^2 - t$ se divide en $L$ $(x - \sqrt{t})^2$ (aquí se están tomando ventaja del hecho de que $\text{char}(\Bbb Z_2(t)) = 2$). Se los dejo a ustedes para mostrarles $x^2 - t$ es de hecho irreductible en $K[x]$ (sugerencia: muestre que no podemos tener $t = \dfrac{p(t)^2}{q(t)^2}$ cualquier $p,q \in \Bbb Z_2[t]$).

En definitiva, su primera caracterización es mejor, un separables de extensión no tiene que ser la división de campo para todos separables polinomios en $K[x]$.

La normalidad es una condición diferente, esencialmente expresar "cómo" de una extensión divide un polinomio irreducible. Por ejemplo, el polinomio mínimo de a$\sqrt[3]{2} \in \Bbb Q(\sqrt[3]{2})$$\Bbb Q[x]$$x^3 - 2$.

Sin embargo, $x^3 - 2$ no se abre completamente en $\Bbb Q(\sqrt[3]{2})$, pero sólo divide este momento:

$x^3 - 2 = (x - \sqrt[3]{2})(x^2 + \sqrt[3]{2}x + \sqrt[3]{4})$,

en consecuencia, $\Bbb Q(\sqrt[3]{2})$ no es una extensión normal de $\Bbb Q$.

Resulta que para finito de extensiones hay una correspondencia uno a uno entre los subcampos de $L$ contiene $K$ y los subgrupos de $\text{Aut}(L/K)$ precisamente al $L$ es de Galois sobre $K$ (esto se llama, curiosamente, la correspondencia de Galois), y que la normal en los subgrupos de $\text{Aut}(L/K)$, a continuación, corresponden a la normal de la extensión de los campos de $K$ $L$.

Answer 4

la extensión$L/K$ es galoisien equivale a cada$x\in L$%,$x$ es algebraica sobre$K$ y el polinomio mínimo de$x$ tiene raíces simples y están todos en$L$. así que por el teorema de los elementos primitivos obtenemos: la extensión$L/K$ finite y galoisienne es equivalente a su propuesta 1) pero no a 2).

pero en el caso del infinito; $L/K$ galoisienne no es equivalente a 1) o 2)

Answer 5

La simple respuesta es que su definición de (1) es correcta en el caso de $[L:K] < \infty$.

Pero permítanme darles un mejor (generalizable) definición.

Supongamos $K \subset L$ es una extensión de campo. A continuación, $L$ se dice ser de Galois sobre $K$ si $L^G=K$ donde$G=Aut_K(L)$$L^G=\lbrace x\in L\mid \sigma(x)=x \ \forall \ \sigma\in G \rbrace$.

Esta definición implica su definición (1) en el caso de $[L:K]< \infty$. Cómo?

Asumiendo esta definición, si $\alpha\in L$ tal que $f(X)\in K[X]$ es el polinomio mínimo de a $\alpha$, tenemos que mostrar que $f(X)$ tiene claras raíces en $L$. Observar que cada uno de $\sigma(\alpha)$ es una raíz de $f(X)$ desde $\sigma$ corrige $K$.

Por lo tanto, el conjunto de $T_{\alpha}=\lbrace\sigma(\alpha) \mid \sigma \in G\rbrace$ es finito. Así que bien podemos escribir $T_{\alpha}=\lbrace \sigma_i(\alpha) \in G\mid 1\leq i\leq k \rbrace$ para algún entero positivo $k$$\sigma_i(\alpha)\neq \sigma_j(\alpha)$$i\neq j$.

Considere el polinomio $g(X)=\prod_{\sigma(\alpha)\in T_{\alpha}}(X-\sigma(\alpha))\in L[X]$. Observar que $\tau(g(X))=g(X)$ por cada $\tau\in G$, donde el $\tau$ actos en los coeficientes de $g(X)$ y sale a $X$ sin cambios. Pero entonces nuestra definición de Galois de la extensión implica que $g(X)\in K[X]$.

Por minimality de $f(X)$ podemos deducir que $f(X)$ divide $g(X)$. También, desde cada una de las $\sigma_i(\alpha)$ es una raíz de $f(X)$, podemos deducir que $(X-\sigma_i(\alpha))$ divide $f(X)$$L[X]$. Y, por tanto,$g(X)\mid f(X)$$L[X]$. No es difícil de digerir que $g(X) \mid f(X)$$K[X]$.

Por lo tanto, $f(X)=g(X)$. A continuación, $g(X)$ tiene distintas raíces, por definición, y por lo tanto $f(X)$ es separable.

Por lo tanto, hemos demostrado que cada elemento de a $\alpha\in L$ es separable. El uso de primitivas elemento teorema, obtenemos $L=K(\lambda)$ algunos $\lambda \in L$. Deje $F(X)$ ser el polinomio mínimo de a $\lambda$. Por el cálculo anterior, se observa que el $F(X)$ se divide en $L$ y, en cualquier campo $M$ que $F(X)$ divisiones debe contener $\alpha$ y sus conjugados. Por lo tanto, $L$ es la división de campo de la $F(X)$.

Por otro lado, si $L$ fue la división de campo de la $f(X)\in K[X]$. Entonces no es difícil mostrar que el grupo de Galois $G$ actúa transitivamente sobre las raíces de cualquier polinomio mínimo $g(X)$ de un elemento $\beta$$L$. (Éste es un argumento que implican la extensión de campo de automorfismos). Por lo tanto, si todos los del grupo de Galois de las correcciones y el elemento $\beta\in L$, es forzoso que el polinomio mínimo ser de grado $1$ y por lo tanto tenemos $L^G=K$.