¿Por qué Anderson ignora una derivada de un estrés viscoso normal?

Question

Estoy leyendo "Fundamentos de Aerodinámica" 5ª edición, J. D. Anderson. En la parte 15.6, dijo:

Considere la posibilidad de una constante de dos dimensiones, viscoso, de flujo compresible. El x-impulso de la ecuación para un flujo está dada por la Ecuación (15.19), en la que para el presente caso se reduce a: \begin{align} \rho u \frac{\partial u}{\partial x} + \rho v \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial }{\partial y} \left[ \mu \left(\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right) \right] \tag{15.27} \end{align}

la ecuación (15.19 a) es: \begin{align} &\rho\frac{\partial u}{\partial t} + \rho u \frac{\partial u}{\partial x} + \rho v \frac{\partial u}{\partial y} + \rho w \frac{\partial u}{\partial z} =\\ &- \frac{\partial p}{\partial x} +\frac{\partial }{\partial x} \left[ \lambda\boldsymbol{\nabla} \cdot\mathbf{V} + 2\mu\frac{\partial u }{\partial x} \right] + \frac{\partial }{\partial y} \left[ \mu \left(\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right) \right] + \frac{\partial }{\partial z} \left[ \mu \left(\frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x} \right) \right] \tag{15.19a} \end{align}

Traté de quitar algunos términos, pero el segundo término (de hecho, es $ \partial \tau_{xx}/\partial x$) en el lado derecho parece no igual a cero para tal caso. ¿Sabe usted por qué el autor ignorar este término ?

Answer 1

Siguiendo @LonelyProf la respuesta, creo que no es tanto un error como una simplificación excesiva.

Anteriormente en la pg. 907 después de definir el viscoso subraya el autor pasa a explicar:

Una vez más, los esfuerzos normales son importantes sólo cuando la derivados $∂_xu$, $∂_yv$, y $∂_zw$ son muy grandes. Para la mayoría de las prácticas problemas de flujo de, $τ_{xx}$ , $τ_{yy}$ , y $τ_{zz}$ son pequeñas, y por lo tanto el la incertidumbre con respecto a $λ$ es esencialmente una cuestión académica. Un ejemplo donde la tensión normal que es importante es que dentro de la interna estructura de una onda de choque. Recordemos que, en la vida real, las ondas de choque han finito, pero de pequeño espesor. Si consideramos una onda de choque normal a través de la cual los grandes cambios en la velocidad se producen en una pequeña distancia (normalmente 10-5 cm), entonces claramente $∂_xu$ va a ser muy grande, y $τ_{xx}$ se convierte en importante dentro de la onda de choque.

La sección OP se refiere a que es en el análisis dimensional (similitud) y dentro de ese contexto, el autor se refiere a:

los flujos de más de dos cuerpos de diferentes formas...

Creo que podemos asumir con seguridad que estos cuerpos tienen un relativo gran tamaño, que junto con la comilla por encima de los resultados en el supuesto de que:

$$\tau_{xx} = \lambda\vec{\nabla}\cdot\vec{v}+2\mu\frac{\partial u}{\partial x} \sim 0$$

Yo creo que el autor descaradamente supone que esta sin prueba (por ejemplo, mediante el análisis dimensional) y simplificado la expresión demasiado rápido. Sucede a veces en la literatura técnica.

Answer 2

Creo que esto debe ser un error en el libro. El autor declara explícitamente anteriormente en el capítulo que se está llevando $\lambda=-\frac{2}{3}\mu$ (Stokes). Así que uno sustituye esto en eqn (15.19) y obtiene el $x$-componente del estándar de la ecuación de Navier-Stokes, que es correcto para mí. Y, lo más importante, el segundo término de la derecha de eqn (15.19 a) no, en general, se desvanecen!

(A menudo, esta ecuación se escribe sin hacer la suposición de $\lambda=-\frac{2}{3}\mu$, pero la forma matemática que se hace de la misma mediante la definición de $\zeta=\lambda+\frac{2}{3}\mu$ y la redefinición de la presión de $p\rightarrow p-\zeta\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{V}$. Así que esto no es el origen del problema).

Yo no veo ninguna supuestos otra que la "constante de dos dimensiones, viscoso, flujo compresible", por lo que no parece haber ninguna razón física para el término en cuestión se cayera. Supongo que solo fue omitido por accidente. La gracia salvadora es que la sección 15.6 es sólo cuestión con dimensiones de argumentos.