Problema de Baby Shower. Demasiado difícil para un niño de 1er grado, pero hizo pensar a los padres

Question

Así que nuestro hijo de seis años llega a casa de 1º de primaria con el siguiente rompecabezas matemático.

Tu tía va a tener un bebé. Has creado un juego para una fiesta de bienvenida al bebé. Se llama "elige el sexo". Pones fichas rosas y azules en una bolsa. Pides a dos invitados que saquen una ficha cada uno de la bolsa sin mirar. Dices a tus invitados que si son del mismo color, el jugador A gana y si son de dos colores diferentes, el jugador B gana.

¿Cuántas fichas de qué colores has puesto en la bolsa para asegurarte de que ambos jugadores tienen las mismas posibilidades de ganar?

Dejando de lado el hecho obvio de que esto parece demasiado duro para un niño de primer grado nos hizo pensar... ¿Hay alguna forma inteligente de resolver este problema que no implique adivinar un montón de combinaciones feas?

Dejemos que $P$ = Número de bolas rosas, $B$ = Número de bolas azules.

Me parece que la probabilidad de que el jugador "B" gane es

$$\left(\frac{P}{P+B}\right)\left(\frac{B}{P+B-1}\right) + \left(\frac{B}{P+B}\right)\left(\frac{P}{P+B-1}\right)$$

En un juego justo esta probabilidad es del 50%.

$$\frac{2PB}{(P+B)(P+B-1)} = \frac{1}{2}$$

O $$(P+B-1)(P+B)=4PB$$

En este punto estamos atascados. Nos damos cuenta de algunos hechos al azar, pero no podemos unirlos todos. Por ejemplo, o bien $(P+B)$ o $(P+B-1)$ es divisible por cuatro y el otro es un número impar. También podemos reordenar los términos para mostrar que $4PB+P+B$ es un cuadrado.

¿Puede alguien en la tierra del intercambio matemático ayudarnos con una solución que no implique matemáticas de fantasía y que no implique un montón de conjeturas, pulverizaciones y rezos? Parece que debería haber una solución elegante...

Answer 1

$$(P+B-1)(P+B)=4PB$$ equivale a

$$(P-B)^2=P+B $$

Dejemos que $x:=P-B$ entonces $P+B=x^2$ .

Resolver los rendimientos $P= \frac{x^2+x}{2}$ y $B= \frac{x^2-x}{2}$ , donde $x$ tiene que ser un entero....(Tenga en cuenta que $x$ también puede ser negativo). Tenga en cuenta que esto genera todas las soluciones.

Gracias a Henning que señaló el pequeño error.

Answer 2

Digamos que hay $p$ bolas rosas y $b$ bolas azules; entonces el número de pares de bolas del mismo color es $p(p-1)+b(b-1)$ y el número total de pares de bolas es $(p+b)(p+b-1)$ . Queremos que el segundo de ellos sea el doble del primero, dando

$$ 2 [p(p-1)+b(b-1)] = (p+b)(p+b-1). $$

Después de muchos reajustes, esto equivale a

$$ (p-b)^2 = p+b $$ .

Así que el número total de bolas debe ser el cuadrado de la diferencia entre el número de bolas de cada color. Sea $p + b = n^2$ y asumir $p>b$ entonces tenemos $p+b = n^2, p-b = n$ que da $p = (n^2+n)/2, b = (n^2-n)/2$ ; todas las soluciones son de esta forma o de la forma inversa. Además debemos tener $n \ge 2$ ; si $n = 0$ o $n = 1$ no hay suficientes fichas para jugar el juego. En particular, las soluciones son

$$ (p,b) = (3,1), (6,3), (10,6), (15,10), \cdots $$

y sus reversiones $(1,3), (3,6), \cdots$ . Estoy de acuerdo en que sería bastante difícil para un niño de primer grado llegar a cualquiera de estas soluciones.

Answer 3

Probablemente, se supone que se resuelve por ensayo y error con números pequeños. Empíricamente, encuentro rápidamente que $(P,B)=(1,3)$ funciona, y ninguna combinación de 2 o 3 bolas en total lo hace.

Si numeramos las bolas azules B1 , B2 , B3 Es decir, es bastante simple de escribir todas las formas de recoger dos bolas:

P+B1    B1+B3
P+B2    B2+B3
P+B3    B3+B1

y todos ellos tienen que ser igualmente posibles. Es apenas concebible que un niño de primer grado sea capaz de seguir ese argumento, pero no estoy seguro de que tenga las pelotas (por así decirlo) para depender de él.