¿Existe un anillo unital cuyo grupo abeliano subyacente sea $\mathbb{Q}^*$ ?

Question

Dejemos que $\mathbb{Q}^*$ sea el grupo de unidades de los números racionales.

¿Existe un anillo unital cuyo grupo aditivo subyacente sea $\mathbb{Q}^*$ ?

Realmente no tengo una sensación de sí o no.

Espero no estar pasando por alto algo obvio.

Gracias.

Answer 1

Por la factorización primaria única de los enteros, el grupo multiplicativo $\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}\Q^\times$ es isomorfo al grupo aditivo de $\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}(\Z/2\Z) \times \bigoplus_{p \text{ prime}} \Z$ . El isomorfismo proviene del hecho de que todo número racional puede escribirse de forma única como $\pm \prod_{p \text{ prime}} p^{a_p}$ para algunos enteros $a_p$ Sólo un número finito de ellas es distinto de cero; y a la inversa, cada expresión de este tipo corresponde a un número racional. Pero ahora nos encontramos con una dificultad: $(\Z/2\Z) \times \bigoplus_{p \text{ prime}} \Z$ con la multiplicación obvia no tiene una identidad multiplicativa, por lo que aunque es un asociativo $\Z$ -álgebra, no es un anillo.

Pero, ¡hay una multiplicación no obvia que funciona! El grupo aditivo del anillo de polinomios $\Z[x]$ es isomorfo a una suma directa contable de copias de $\Z$ y así (al elegir una biyección entre los números naturales y el conjunto de números primos), el grupo aditivo de $(\Z/2\Z) \times \Z[x]$ es isomorfo al grupo aditivo $(\Z/2\Z) \times \bigoplus_{p \text{ prime}} \Z$ .

Componiendo estos isomorfismos, vemos que el grupo de unidades $\Q^\times$ es isomorfo al grupo aditivo del anillo $(\Z/2\Z) \times \Z[x]$ .

Answer 2

He aquí un ejemplo sencillo: dejemos que $\star$ sea la operación definida por

• $ 2 \star 2 = 2 $
• $ 2 \star p = p $
• $ p \star p = 1 $
• $ p \star q = 1 $
• $ 2 \star -1 = -1 $
• $ p \star -1 = 1$
• $-1 \star -1 = 1$

y se extiende a todos los números racionales no nulos por distributividad: por ejemplo

$$\begin{align}6 \star 8 &= (2 \cdot 3) \star (2 \cdot 2 \cdot 2) \\&= (2 \star 2) \cdot (2 \star 2) \cdot (2 \star 2) \cdot (3 \star 2) \cdot (3 \star 2) \cdot (3 \star 2) \\&= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \\&= 216 \end{align}$$

Esto sería más evidente al observar que los racionales positivos son el grupo abeliano libre cuya base son los primos. El subring de los racionales positivos descrito anteriormente se construye como el anillo polinómico sobre un número contable de varaibles indeterminados (uno por cada primo de impar), módulo la relación de que el producto de dos variables cualesquiera es la identidad aditiva, lo que asegura que el grupo aditivo de este anillo es el grupo abeliano libre generado por $1$ y cada una de las variables indeterminadas.

He tomado $2$ como la identidad multiplicativa en este anillo.

Añadiendo $-1$ en este anillo es esencialmente el mismo, excepto que añado la identidad extra que multiplica $-1$ por sí mismo da cero.

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Hay una construcción mucho más sencilla si nos fijamos sólo en la estructura abstracta: el grupo aditivo de $\mathbf{Z}[x]$ es ya un grupo abeliano libre sobre un número contable de elementos. El grupo aditivo de $\mathbf{Z}[x,y] / (2y, xy, y^2)$ tiene precisamente la estructura que buscamos.

Answer 3

Tome una biyección $\mathbf Q\to \mathbf Q^\times$ y transportar la estructura del anillo. Incluso puede tomar una biyección de $\mathbf Z$ . Cualquier anillo contablemente infinito sirve.