Demuestre que las primitivas de$\frac{x^3}{{\rm e}^x - 1}$ no tienen forma cerrada en términos de funciones elementales

Question

Es conocida la siguiente integral indefinida $$\int \frac{x^3}{{\rm e}^x - 1} dx$$ no puede ser evaluado en forma cerrada en términos de cualquiera de las funciones elementales de las matemáticas. Una prueba de esto puede ser encontrado aquí. La prueba, puesto que expresa la integral en términos de cuatro series infinitas, uno de los cuales es el dilogarithm función. Este término se muestra a continuación se puede expresar en forma cerrada en términos de funciones elementales mediante el algoritmo de Risch.

Mi pregunta es, utilizando el algoritmo de Risch, es posible la muestra directamente de la forma de la integral dada anteriormente que no puede ser expresado en la forma cerrada en términos de cualquiera de las funciones elementales de las matemáticas?

Debo confesar que mi experiencia en el trabajo con el algoritmo de Risch es bastante limitado (y sí, yo no entiendo un más de 100 páginas para el documento existe en algún lugar que describe su implementación, por lo que cualquier esquema de una posible prueba sería muy apreciada.

Answer 1

Prueba:

Dejar $\theta = \exp(x)$. Entonces su problema se convierte en$$\int \frac{x^3}{\exp(x)-1}dx = \int \frac{p(\theta)}{q(\theta)}dx$$ where $ p (\ theta) = x ^ 3 \ en \ mathbb {Q} (x) [\ theta]$ and $ q (\ theta) = \ theta -1 \ in \ mathbb {Q} (x) [\ theta] $.

Como$\deg_\theta(p(\theta)) = 0 < 1 = \deg_\theta(q(\theta))$ y$q$ es un polinomio monic, sin cuadrados y$\gcd(p,q) = \gcd(q,\theta) = 1$, podemos aplicar el método de Rothstein-Trager: \begin{align} R(z) = \operatorname{res}_\theta(p(\theta)-zq'(\theta),q(\theta)) &= \operatorname{res}_\theta(x^3-z,\theta-1) = x^3-z \end {align} La raíz de$R(z)$ es $z = x^3$. Como$x^3 \not \in \mathbb{\bar{Q}}$, la integral no es elemental.

Consulte "Algoritmos para álgebra computacional" por Geddes, Capítulo 12 para el teorema que lo respalda (páginas 554-557).