¿Por qué$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\left(\sin x\right)^{n}}{2+n^{2}}$ no es uniformemente convergente en$[0,\;\frac{\pi}{2})$?

Question

¿Por qué$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\left(\sin x\right)^{n}}{2+n^{2}}$ no es uniformemente convergente en$[0,\;\frac{\pi}{2})$?

Estaba pensando que necesitamos mostrar sumas parciales \begin{equation} \left|S_{2n}\left(x\right)-S_{n}\left(x\right)\right|\nrightarrow0 \end {equation} para algunos$x\in[0,\;\frac{\pi}{2})$.

¿Alguna pista?

¿Es esto correcto?

\begin{align} \left|S_{2n}\left(x\right)-S_{n}\left(x\right)\right| & =\left|\frac{\left(n+1\right)\left(\sin x\right)^{n+1}}{2+\left(n+1\right)^{2}}+\cdots+\frac{2n\left(\sin x\right)^{2n}}{2+\left(2n\right)^{2}}\right|\\ & =\frac{\left(n+1\right)\left(\sin x\right)^{n+1}}{2+\left(n+1\right)^{2}}+\cdots+\frac{2n\left(\sin x\right)^{2n}}{2+\left(2n\right)^{2}}\nonumber \\ & \geq\frac{\left(n+1\right)\left(\sin x\right)^{n+1}}{2+\left(2n\right)^{2}}+\cdots+\frac{2n\left(\sin x\right)^{2n}}{2+\left(2n\right)^{2}}\nonumber \\ & \geq\frac{\left(n+1\right)\left(\sin x\right)^{n+1}}{2+\left(2n\right)^{2}}+\cdots+\frac{\left(n+1\right)\left(\sin x\right)^{2n}}{2+\left(2n\right)^{2}}\nonumber \\ & \geq\frac{\left(n+1\right)\left(\sin x\right)^{2n}}{2+\left(2n\right)^{2}}+\cdots+\frac{\left(n+1\right)\left(\sin x\right)^{2n}}{2+\left(2n\right)^{2}}\nonumber \\ & =\frac{n\left(n+1\right)\left(\sin x\right)^{2n}}{2+\left(2n\right)^{2}}\nonumber \end {align} luego dejamos$x=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{n}$, entonces tenemos \begin{align} \left|S_{2n}\left(x\right)-S_{n}\left(x\right)\right| & \geq\frac{n\left(n+1\right)\left(\sin x\right)^{2n}}{2+\left(2n\right)^{2}}\\ & =\frac{n\left(n+1\right)\left(\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{1}{n}\right)\right)^{2n}}{2+\left(2n\right)^{2}}\nonumber \\ & \rightarrow0.25,\:not\:0\nonumber \end {align}

Answer 1

Suponiendo que la serie es uniformemente convergente en$[0, \pi/2 )$, entonces para cualquier secuencia$a_n : \mathbb{N} \to [0, \pi/2)$ converge la serie$\displaystyle \sum_{n = 0}^\infty f_n(a_n)$. En este caso, considerando$a_n = \sin^{-1} \left( 2 ^{-\frac{1}{n}} \right) \in [0, \pi/2)$, tenemos ese $$ \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {n} {n ^ 2 + 2} \ sin \ left (\ sin ^ {- 1} \ left (2 ^ {- \ frac {1} {n}} \ right) \ right) ^ n = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {n} {n ^ 2 + 2} 2 ^ {- \ frac {n} {n}} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {n} {n ^ 2 +2} \ cdot \ frac {1} {2} $$ es divergente - es suficiente para comparar esto con $\displaystyle \frac{1}{n}$

Answer 2

En primer lugar, la prueba se ve bien para mí. A continuación, el boceto de un tipo diferente de prueba.

Deje $f(x)$ ser la suma de esta serie. Tenga en cuenta que cada sumando aumenta en $[0,\pi/2).$ por lo tanto lo hace $f(x).$ Se sigue que $\lim_{x\to \pi/2^-} f(x)=L$ algunos $L\in (0,\infty].$

Supongamos que la serie converge uniformemente a $f$ $[0,\pi/2).$ Debido a que cada sumando es limitado en $[0,\pi/2),$, por lo que es cada suma parcial, lo que implica por convergencia uniforme que $f$ está delimitada en $[0,\pi/2).$ $L<\infty.$

Deje $N\in \mathbb N.$

$$\tag 1 L = \lim_{x\to \pi/2^-} f(x) \ge \lim_{x\to \pi/2^-}\sum_{n=1}^{N}\frac{n(\sin x)^{n}}{2+n^{2}} = \sum_{n=1}^{N}\frac{n}{2+n^{2}}.$$

Desde $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{2+n^{2}} = \infty,$ el lado derecho de la $(1)$ puede hacerse arbitrariamente grande. Por lo tanto $L=\infty,$ contradicción.

Answer 3

Para cualquiera de las funciones $f,g$ $[0,\pi/2)$ $\Bbb R$deje $\|f-g\|=\sup \{|f(x)-g(x)|: x\in [0,\pi/2)\}\in [0,\infty].$

Para $m\in \Bbb N$ deje $S_m(x)=\sum_{n=1}^m(n(\sin x)^n)/(2+n^2).$

Supongamos que $S_m\to S$ uniformemente en $[0,\pi/2).$ $\|S-S_m\|\to 0.$ $\lim_{M\to \infty}\sup_{M<m<m'}\|S_m-S_{m'}\|=0$ porque $\|S_m-S_{m'}\|\leq \|S_m-S\|+\|S-S_{m'}\|.$

Dado $M\in \Bbb N,$ $m>M$ y deje $m'=2m+1.$, a Continuación, tome $x\in [0,\pi/2)$ donde $x$ es lo suficientemente cerca como para $\pi /2$ que $(\sin x)^{2m+1}>1/2.$ $(\sin x)^j>1/2$ $m+1\leq j\leq 2m+1.$ Y hemos $$\|S_m-S_{m'}\|\geq |S_m(x)-S_{m'}(x)|=$$ $$=\sum_{j=m+1}^{2m+1}\frac {j(\sin x)^j}{j^2+2}> \sum_{j=m+1}^{2m+1}\frac {j/2}{j^2+2}>$$ $$> \sum_{j=m+1}^{2m+1}\frac {j/2}{2j^2}=\sum_{j=m+1}^{2m+1} \frac {1}{4j}>$$ $$> \frac {1}{4}\sum_{j=m+1}^{2m+1}\int_j^{j+1}(\frac {1}{x})dx=$$ $$=\frac {1}{4}\int_{m+1}^{2m+2}(\frac {1}{x})dx=\frac {1}{4}\ln 2.$$

Así que la convergencia de $S_m$ no puede ser uniforme.