¿Existe alguna forma más inteligente de diferenciar la función$f(x) = \sin^{-1} \frac{2x}{1+x^2}$?

Question

Dado$f(x) = \sin^{-1} \frac{2x}{1+x^2}$,

Demuestre que$$f'(x) = \begin{cases}\phantom{-}\frac{2}{1+x^2},\,|x|<1 \\\\ -\frac{2}{1+x^2},\,|x|>1 \end{cases}$ $

Obviamente, el enfoque estándar sería usar la regla de la cadena y simplificar desde allí.

Pero noté que algunas de estas expresiones son familiares, específicamente, de las fórmulas tangentes de medio ángulo:

Si$x = \tan \frac \theta 2$, luego$\sin \theta = \frac{2x}{1+x^2}$ y$\frac{d\theta}{dx} = \frac{2}{1+x^2}$.

Entonces mi pregunta es: ¿se puede usar esta observación para construir una prueba más elegante?

Answer 1

Tenemos$$ \frac{t}{1+\sqrt{1-t^2}} \Bigg \rvert_{t = \frac{2x}{1+x^2}} = \frac{2x}{1+x^2 + \lvert 1-x^2\rvert} = \begin{cases} x &\!\!\!, |x|<1 \\ \frac{1}{x} &\!\!\!, |x|>1 \end{cases} \, .$ $ Por lo tanto, podemos usar$$ \arcsin(t) = 2 \arctan\left(\frac{t}{1+\sqrt{1-t^2}}\right) \, ,$ $ que se deduce de la fórmula de ángulo medio, para obtener$$ f(x) = \begin{cases} 2\arctan(x) &\!\!\!, |x|<1 \\ 2\arctan\left(\frac{1}{x}\right) &\!\!\!, |x|>1 \end{cases} = \begin{cases} 2\arctan(x) &\!\!\!, |x|<1 \\ \operatorname{sgn}(x)\pi -2\arctan(x) &\!\!\!, |x|>1 \end{cases} \, .$ $

Answer 2

Método $\#1:$

Por regla de la cadena,

ps

ps

Método $$\dfrac{d\arcsin\dfrac{2x}{1+x^2}}{dx}=\dfrac1{\sqrt{1-\left(\dfrac{2x}{1+x^2}\right)^2}}\left(\dfrac2{1+x^2}-\dfrac{4x^2}{(1+x^2)^2}\right)$

Dejar $$=\dfrac{2(1+x^2)(1-x^2)}{|1-x^2|(1+x^2)^2}=?$

Uso de los valores principales $$ \ arcsin \ dfrac {2x} {1 + x ^ 2} = \begin{cases}2\arctan x &\mbox{if }-\dfrac\pi2\le2y\le\dfrac\pi2 \\ \pi-2\arctan x & \mbox{if } 2\arctan x>\dfrac\pi2\\-\pi- 2\arctan x & \mbox{if } 2\arctan x<-\dfrac\pi2\end {cases} $$

Answer 3

Diferenciación implícita:$$\sin(f(x)) = \frac{2x}{1 + x^2}$ $$$\cos(f(x)) f'(x) = \frac{2(1 - x^2)}{(1 + x^2)^2}$ $ $$ f '(x) = \ frac {2 (1 - x ^ 2)} {\ cos (f (x)) (1 + x ^ 2 ) ^ 2} = \ frac {2 (1 - x ^ 2)} {\ sqrt {1 - \ sin ^ 2 (f (x))} (1 + x ^ 2) ^ 2} = \ frac {2 ( 1 - x ^ 2)} {\ sqrt {(1 - x ^ 2) ^ 2 / (1 + x ^ 2) ^ 2} (1 + x ^ 2) ^ 2} \ cdots $$ y:

• $1 - x^2 < 0\hbox{ for }|x| > 1$;
• $1 - x^2 > 0\hbox{ for }|x| < 1$.