Evaluar una integral aparentemente simple

Question

Estoy tratando de evaluar la siguiente integral, que surgió al intentar encontrar la suma de una serie:$$\int_{0}^{1} \frac{\ln(x)}{x-1} \ln(1+\sqrt{x})\text{d}x$ $

Intenté sin éxito algunas sustituciones, integración por partes, integración feynman ... No estoy familiarizado con técnicas de integración más avanzadas como el teorema de residuos, etc., así que tal vez ese sea el camino a seguir. ¡Cualquier sugerencia, solución o solución parcial sería agradable!

Answer 1

Usted puede reducir su integral a las dos integrales que ya han sido resueltos en este sitio:

Deje $x=t^2$, realizar un parcial fracción de descomposición y de integrar por partes en la segunda parte integrante de encontrar \begin{align} I &\equiv \int\limits_0^1 \frac{-\ln(x) \ln(1+\sqrt{x})}{1-x} \, \mathrm{d}x \\ &= 4 \int \limits_0^1 [-\ln(t) \ln(1+t)] \frac{t}{(1-t)(1+t)} \, \mathrm{d}t \\ &= 2 \int \limits_0^1 \frac{-\ln(t) \ln(1+t)}{1-t} \, \mathrm{d} t - 2 \int \limits_0^1 \frac{-\ln(t) \ln(1+t)}{1+t} \, \mathrm{d} t \\ &= 2 \int \limits_0^1 \frac{-\ln(t) \ln(1+t)}{1-t} \, \mathrm{d} t - \int \limits_0^1 \frac{\ln^2 (1+t)}{t} \, \mathrm{d} t \\ &\equiv 2 I_1 - I_2 \, . \end{align}

En esta pregunta $I_2 = \frac{\zeta(3)}{4}$ está demostrado (FDP respuesta del no uso el contorno de la integración o la polylogarithm). $I_1 = \frac{\pi^2}{4} \ln(2) - \zeta(3)$ se deriva de aquí (la respuesta se basa en el contorno de integración y aunque sería bueno tener una simplificación de la prueba). Así obtenemos el resultado sugiere que en los comentarios: $$ I = 2 \left(\frac{\pi^2}{4} \ln(2) - \zeta(3)\right) - \frac{\zeta(3)}{4} = \frac{\pi^2}{2} \ln(2) - \frac{9}{4} \zeta(3) \, . $$