Soluciones de una ecuación diferencial

Question

Estoy tratando de resolver la siguiente ecuación diferencial y yo estoy atrapado en lo que parece ser simples cálculos. Estoy terriblemente triste si esto resulta ser muy simple.

$(1)$ $X(f)=2f$

donde $X=x_1^2 \frac \partial {\partial x_1}-x_2^2 \frac \partial {\partial x_2}$ $\Bbb R^2$ con la identidad gráfico de $Id_{\Bbb R^2}=(x_1,x_2)$

y $f:\Bbb R^2 \to \Bbb R$,

$(2)$ $f(cosθ,sinθ)=cosθ+sinθ$.

Deje $φ^Χ_t(p)=(\frac {x}{1-tx},\frac {y}{1+ty})$ donde $p=(x,y)$, ser el flujo de $Χ$ y denotando $h(t)=f(φ^Χ_t(p))$ podemos hacer $(1)$ parecerse a $h'(t)=2h(t)$ que puede ser fácilmente resuelto:

$e^{2t}f(x,y)=f(\frac {x}{1-tx},\frac {y}{1+ty})$

A continuación, mediante el uso de la condición inicial $(2)$ hemos

$e^{2t}(cosθ+sinθ)=f(\frac {cosθ}{1-tcosθ},\frac {sinθ}{1+tsinθ})$ (esto es lo más lejos que puedo ir)

Traté de establecimiento $u = \frac {cosθ}{1-tcosθ}, v=\frac {sinθ}{1+tsinθ} $ pero no he sido capaz de aislar $u,v$ $θ, t$

Me puedes dar alguna pista? ¿Hay algún truco que no estoy pensando?

Answer 1

$$x^2 \frac {\partial f}{\partial x}(x,y)- y^2 \frac {\partial f}{\partial y}(x,y)=2f(x,y).$$ La búsqueda de la solución general (sin tener en cuenta la condición de frontera) con el método de las características :

La característica Odas son : $$\frac{dx}{x^2}=\frac{dy}{-y^2}=\frac{df}{2f}$$ Una primera característica de la ecuación viene de $\frac{dx}{x^2}=\frac{dy}{-y^2}$ : $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=c_1$$ Una segunda característica de la ecuación viene de $\frac{dx}{x^2}=\frac{df}{2f}$ : $$e^{2/x}f=c_2$$ La solución general se expresa en la forma de implicite ecuación es : $$\Phi\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\:,\:e^{2/x}f \right)=0$$ donde $\Phi$ es una función arbitraria de dos variables. Esta función tiene que ser determinado de acuerdo a las condiciones de contorno.

O, equivalentemente, en forma explícita : $e^{2/x}f=F\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)$

$$f(x,y)=e^{-2/x}F\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)$$ donde $F$ es una función arbitraria. Esta función tiene que ser determinado de acuerdo a las condiciones de contorno.

LÍMITE CONDIION TRATAMIENTOS :

En la redacción original de la pregunta, la condición de contorno no está claramente definido. Una discusión se llevó a cabo en los comentarios.

A la pregunta : Es la condición de contorno $f(x,y)=x+y$ sobre el círculo unidad $x^2+y^2=1$ ? el OP respondió "que debe ser", que en realidad no es afirmativa. Así, esta supuesta condición de frontera puede ser la sospecha de que se han equivocado.

Suponiendo que la condición de contorno es $f(x,y)=x+y$ sobre el círculo unidad $x^2+y^2=1$, lo $y=\pm\sqrt{1-x^2}$ , mi comentario es :

La función de $F$ tiene que ser determinado a partir de : $$x\pm\sqrt{1-x^2}=e^{-2/x}F\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{\pm\sqrt{1-x^2}} \right)$$

De hecho, teóricamente es posible encontrar la función de $F$, pero el cálculo es bastante arduo y la función de $F$ es muy complicado. Este sorteo a pensar que algo podría estar mal en la redacción de la pregunta. El OP debería volver a examinar lo que es realmente la condición de contorno. Para ayudar a él, debe ser necesario que el OP re-editar su pregunta con una explicación detallada de cómo consiguió la anterior condición de frontera.

Answer 2

La ecuación diferencial es:

ps

Exprese$$x^2 \frac {\partial f}{\partial x}(x,y)- y^2 \frac {\partial f}{\partial y}(x,y)=2f(x,y).$% como

ps

asi que

ps

ps

ps

Puedes definir

ps

lo que significa

ps

Para$f(x, y)$ tienes

ps

lo que significa que la solución es

ps

Sí, en algún momento, tengo que aplicar condiciones de contorno. Desafortunadamente, no entiendo las condiciones de contorno que estás usando, así que no puedo seguir resolviéndolo.